马尔可夫链在市场经济预测中的应用

马尔可夫链在市场经济预测中的应用宋庆龙宋程成(唐山师范学院数信系，河北唐山063000)摘要：通过实例分析，阐述了运用马尔可夫分析法进行市场经济预测和决策的全过程，并用此方法对市场中商品的零售价格进行预测，并对企业的市场占有率进行预测和决策。关键词：马尔可夫链经济预测决策企业在经营管理中，经常会碰到对市场经济的预测与决策问题。运用马尔可夫过程进行市场预测是一个有效的方法。本文通过实例介绍运用马尔可夫链对市场经济进行预测、决策。马尔可夫链是一种特殊的随机过程，它的基本原理是：按照某系统的发展，时间可离散为n=0,1,2,3,,对每个系统的状态可用随机变量表示，并且对应一定的概率，称为状态概率。当系统由某一阶段状态转移到另一阶段状态时，在这个转移过程中，存在着转移的概率，称为转移概率。如果转移概率只与目前相邻两状态的变化有关，即下阶段的状态只与现在状态有关而与过去无关，那么这种离散状态按照离散时间的随机转移系统过程，称为马尔可夫过程。马尔可夫过程的数学表述如下：设某系统每个阶段含有S1,S2,,Sn个可能状态：（1）该系统的初始阶段状态记为向量(0)，系统第i个阶段的状态向量记为()i，两相邻系统由现有状态Si变到Sj的状态转移概率为Pij(1≤i≤n,1≤j≤n)，由Pij构成的矩阵称为系统状态转移矩阵，记为P，即P=ij(P)nn，P的第i行表示系统现阶段处于状态Si，下阶段转移到S1,S2,,Sn状态的概率，所以ij1P1nj.这里，不同阶段的状态向量分别为：(1)(0)P,(2)(1)P,,()(1)iiP,i=1,2n（2）假设系统发展过程状态向量满足条件：P，则系统处于平衡状态。为状态转移矩阵P的不变向量，记=(x1,x2,,xn)且满足条件：马尔可夫链：有限个马尔可夫过程的整体称为马尔可夫链。马尔可夫链的运动变化分析，主要是分析研究链内有限马尔可夫过程的状态及其相互关系，进而预测链的未来状况，据此作出决策。根据马尔可夫链的构成，其过程具有如下的三个特点：1．过程的离散性。该系统的发展，在时间上可离散化为有限或可列多个状态。2．过程的随机性。该系统内部从一个状态转移到另一个状态是随机的，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。3．过程的马尔可夫性。系统内部的转移概率只与当前状态有关，而与以前状态无关。即一个系统的某些因素在转移中第i期的状态只与第i-1期有关，而与第i-1期以前的状态无关。凡是满足以上三个特点的系统，均可用马尔可夫链研究其过程，并可预测未来和进行决策。用马尔可夫链进行经济预测，最基本的步骤是：（1）构造状态并确定相应的状态概率；P11niiX（2）建立状态转移概率矩阵；（3）运用转移矩阵进行初步市场预测及平衡状态分析下面，运用马尔可夫链，对市场中商品的零售价格进行预测，并对企业的市场占有率进行预测和决策。一、商品零售价格的预测以1993年至2006年粮食零售价格[7]的变动情况为实例，将各年的零售价分为上升、持平、下降三种状态进行分析、预测。1994年至2006年粮食零售价格情况（1-1）年号19931994199519961997199819992000200120022003200420052006状态上升上升下降下降下降上升持平下降上升下降上升上升下降上升现运用马尔可夫链对以上数据进行分析和预测。㈠构造状态并确定状态概率以表（1-1）中每年作为离散的时间单位，粮食的零售价格情况分为三种状态：上升、持平、下降。取：x1=上升，x2=持平，x3=下降。则状态空间为E(x1,x2,x3).状态概率是各种状态出现的可能性的大小，用状态向量12()(,)niPPP表示，i=1,2,,Pj为xj的概率,j=1,2n.表（1-1）中共14年，其中上升7次，持平1次，下降6次，因此，各个状态概率分别为P1=714=0.500,P2=114=0.071,P3=614=0.429，则状态向量：(0)(0.500,0.071,0.429)称为初始状态向量。㈡建立状态转移概率矩阵状态转移概率矩阵是指所讨论的对象从一种状态转变成另一种状态的概率值Pij所构成的矩阵，记P=ij(P)nn.由表（1-1）可以看出，由于2006年的状态位上升而无状态转移，上升的总次数为6次，其中由上升状态转移为上升状态2次，故转移概率为26=0.333，记P11=0.333，而由上升转移为持平，下降的概率分别为：P12=16=0.167,P13=36=0.500；呈持平状态的有1次，由持平状态转移为上升状态0次，所以转移状态概率P21=0，同理，P22=0，P23=1;P31=46=0.667，P32=0，P33=26=0.333，因此，得到零售价格状态转移矩阵P11P12P130.3330.1670.500P21P22P23001P31P32P330.66700.333矩阵P中每一横行为某一状态下各种情况转移的概率，所以331ijjP，i=1,2,3.㈢运用转移矩阵进行初步市场预测及平衡状态分析根据马尔可夫过程，不同年份的状态概率由状态向量()i表示，这里：()(1)iiP,P为状态转移矩阵，i=1,2,n.根据表（1-1），由于2006年处于上升状态，而且无后继资料，所以可认为初始状态向量(0)(1,0,0)。利用该向量和状态转移矩阵来预测以后各个年份粮食零售价格状态概率：2007年零售价格状态概率向量：(1)(0)P=(100)=(0.3330.1670.500)P==0.3330.1670.5000010.66700.3332008年零售价格状态概率向量：(2)(1)P=(0.4440.0560.500）2009年零售价格状态概率向量：(3)(2)P=(0.4810.0740.445)这样可以继续预测出2010年，2011年粮食的零售价格。由预测可以看到粮食的零售价格的变化趋势：随着年份的增加，只要状态转移矩阵不变，则粮食的零售价格上升的可能性在增大，持平的可能性也有所增加，下降的可能性在降低。但随着时间的推移，粮食的零售价格会趋于一个平衡状态，这里，我们可以根据马尔可夫链系统平衡条件下的方程组，预测零售价格状态。按照马尔可夫链系统稳定条件：12(,,)nxxx⑴将状态向量123(,,)xxx（x1=上升，x2=持平，x3=下降），和状态转移矩阵P=代入⑴式中得方程组0.333x1+0.667x3=x10.167x1=x2（2）x1+x2+x3=1解方程组（2）得：x1=6130.4615x2=1130.077x3=6130.4615P11P12P1nPn1Pn2PnnP=nnP11niiX0.3330.1670.5000010.66700.333这个结果说明，如果转移概率矩阵保持不变，那么粮食的零售价格状态概率趋向于一个和初始状态无关的值，并稳定下来。即零售价最终以46.15%左右的可能性处于上升状态，以7.7%左右的可能性处于持平状态，以46.15%左右的可能性处于下降状态。二、市场占有率预测和决策企业市场占有率是由企业的实际销售产品数量在同行业实际销售量中所占的百分比。它是评价企业市场竞争能力的综合指标，其发展趋势的变化反映企业的竞争态势和运营前景。因此，为了能使企业在市场中处于高效、健康的运营态势，必须及时地掌握市场动态，了解本企业的市场占有率，预测发展趋势，并采取有效的措施，进行正确的决策。假设本市有三家规模较大的旅行社，由于服务质量，所提供的旅游项目，旅游价格等因素，客户随时都在发生着变化。经过市场调研，我们收集到了如下数据：三家旅行社初期客户数（2-1）旅行社客户比率A9500950020000=0.475B4000400020000=0.2C6500650020000=0.325三家旅行社末期客户的流动情况（2-2）ABCA550015002500B50025001000客户转向旅行社C7008005000马尔可夫过程分析预测的数学模型为：()(1)iiP，,i=1,2n.三家不同旅行社市场占有率分别用XA、XB、XC,表示，则状态向量A(,,)BCXXX且由表（2-1）得初始状态矩阵(0)(0.475,0.20,0.325)下面建立转移概率矩阵其中：P=[ijP]3×3(i,j=1,2,3)表示A、B、C三家旅行社在i,j状态处的转移概率。当i=j=1,2,3时，即转移矩阵的主对角线上的元素，ijP表示A、B、C三家旅行社的保留概率。当ij时，ijP表示A、B、C三家旅行社的转移概率。即表示i家旅行社客户向j家旅行社转移的概率，总称为转移概率。由表（2-2）得到三家旅行社市场占有率的状态转移概率矩阵：5500/95001500/95002500/9500P=500/40002500/40001000/4000=700/6500800/65005000/6500根据以上资料，预测第二期A、B、C三家旅行社市场占有率为：(1)(0)P=(0.4750.200.325)=(0.33630.2400.4237)第三期三家旅行社市场占有率：(2)(1)P=(0.33630.2400.4237)0.580.160.260.1250.6250.250.110.120.770.580.160.260.1250.6250.250.110.120.770.580.160.260.1250.6250.250.110.120.77P=P11P12P13P21P22P23P31P32P33=(0.27170.25460.4737)第四期三家旅行社市场占有率：(3)(2)P==(0.24150.25940.4990)从以上计算可以看出，A家由最初的47.5%市场占有率逐渐下降为24.15%；B家由20%上升为25.94%；而C家市场占有率由32.5%上升为49.9%。这里，不论是上升还是下降，其市场占有率变化的幅度随年份增加而变化幅度减缓。即是整个系统的市场占有率随年份增加呈平衡趋势，三家旅行社市场占有率平衡状态计算如下：设平衡状态向量A(,,)BCXXX则由有：XA+XB+XC=10.58XA+0.125XB+0.11XC=XA得方程0.16XA+0.625XB+0.12XC=XB（3）0.26XA+0.25XB+0.77XC=XCXA+XB+XC=1XA21.49%解方程组（3）得：XB25.98%XC52.53%即A、B、C三家稳定市场占有率分别为21.49%，25.98%，52.53%。从上述计算、预测看出，A家市场占有率在下降，应及时采取措施，改善服务质量，调整旅游项目，旅游淡季推出优惠措施以吸引更多客户。P如果这种稳定状态存在，三家旅行社就应该采取必要的策略和措施，以提高市场占有率。马尔可夫过程分析，不仅可以用来预测，还可以用于决策的分析。例如，A家旅行社要提高市场占有率，只要改变转移概率矩阵—客户转向，就可以达到较好的效果。方案一：从B家旅行社争取到10%的客户，C家旅行社从而减少了10%的客户。根据马尔可夫过程分析原理，建立转移概率矩阵P1P1=根据平衡条件：可解得：XA=26.48%XB=26.38%XC=47.14%，A家旅行社的市场占有率从21.49%提高到了26.48%.方案二：从C家旅行社争取到10%的客户，同时B家旅行社减少了10%的客户。根据马尔可夫过程分析原理，建立转移概率矩阵P20.580.160.26P2=0.1250.6250.250.210.020.77根据平衡条件：P11niiX0.580.160.260.2250.6250.150.110.120.77P11niiX可解得：XA=31.16%XB=16.11%XC=52.73%，A家旅行社的市场占有率从21.49%提高到了31.16%.通过比较两种方案的结果可以看到方案二比方案一多提高了4.68%，显然A家旅行社应选择方案