错位相减法求数列前n项和的方法论重建及推广

错位相减法求数列前n项和的方法论重建及推广李光辉，王光明（天津师范大学数学科学学院,300387）电子邮箱：[e-mail]，电话：[phone]对于一般数列的求和，主要是转化为等差、等比数列的求和问题，有时也转化为已知求和公式的其它数列，对于非等差、非等比的数列求和，常用的方法有错位相减、裂项相消、倒序相加、拆项分组及构造数列等方法。本文主要探讨错位相减法在高中数列求和中的应用。1错位相减法在教科书中的引入将数列}{na的前n项和nnaaaS21的两边同时乘以非零常数q，变为qaqaqaqSnn21，然后将两式相减消去若干项而求和的方法称为错位相减。这是在推导等比数列前n项和公式时所用的方法。[1]这种方法有很强的技巧性，教材中在使用这一方法时只是一带而过，从阐述问题到给出等比数列前n项和总共不过十余行。且不论教师怎么处理这一问题，单就学生的角度来说，大部分学生如果不仔细钻研这个问题的话，在这一部分都会遇到认知上的困难。问题意识比较强的学生可能会问问为什么，多数学生可能就得过且过了，“反正都是书本上的，记住就行了”。有了这种心理，就很难从本质上把握数列这一个重要的知识。我们先来回顾一下课本上的证明过程：一般的，对于等比数列，，，，，naaaa321，它的前n项和是nnaaaaS321。根据等比数列的通项公式，上式可写成112111nnqaqaqaaS。①我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得nnnqaqaqaqaqS111211。②①，②的右边有很多相同的项。用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得nnqaaSq11)1(。当1q时，等比数列的前n项和的公式为)1(1)1(1qqqaSnn。上述证明的关键步骤在于能否得到②式，通常的做法是直接告诉学生，让等式两边同时乘以公比q。这样处理虽然便于教学的进行，但是这种方法可以说是最没有说服力的，显得很突兀，也容易给学生造成很多疑问。为什么要乘以一个数而不是减去一个数呢？为什么要乘以公比q而不是除以1a呢？……诸如此类的问题如果得不到很好的解决，那么学生在1以后的数列学习中很可能就会失去兴趣，进而造成一些列不良的后果。2错位相减法的方法论重建上述证明过程，从数学方法论的角度来说，为整体代入消去的方法。从①式到②式，形式上仅相差一个q，但是在意识层次上却是一个质的飞跃。教师如果能从数学方法论的角度入手进行讲解，将会收到良好的教学效果。郑毓信[2]在《数学教育：从理论到实践》一书中指出：“数学方法论有助于我们将数学课讲活、讲懂、讲深”，而要达到这个目标，应当通过“相关教学内容的‘方法论重建’（或者说，‘再创造’）使之成为‘可以理解的’、‘可以学到手的’和‘可以加以推广应用的’”。对于错位相减法的引入，教师应当如何进行“方法论重建”呢？刚刚已经指出，从数学方法论的角度，错位相减法实质上是一种整体代入消去的方法，教师可以从这一点出发，进行方法论的重建。在讲解错位相减法之前，教师首先可以让学生回顾解方程时用到的方法。我们说数列是一类特殊的函数，等差数列和等比数列分别可以类比一次函数和指数函数。研究函数的一些性质的时候我们通常会借助方程的工具，那么在研究数列的前n项和时，是否也可以呢？我们要解这样一个方程：112111nnqaqaqaaS，在这个方程中，我们把nS看成是n的函数，，，qa1看作常数，要解出nS，我们要想办法把不含n的项消掉或者用n表示。这时，学生的一个想法就是把前1n项看成整体，用1nS来代替，得到11111212111)(nnnnnqaSqaqaqaqaaS。③这时候问题又来了，我们要解nS，nS还没解出来，又多了一个1nS，显然不利于我们解出nS。这时继续引导学生，既然把前1n项看成整体不行，那我们把后1n项看成整体行不行呢？让学生动手验证，得到)(11212111nnnqaqaqaqaaS，④将④式右侧括号中的项提取公因式q，得到112121111)(nnnqSaqaqaqaaqaS，⑤此时，让学生对比③式和⑤式，等式左边都是nS，等式右边是关于1nS的一个式子，我们可以通过这两个式子解出1nS，)1()1(1111111111111nnnnnnnnqaqSqaaqSSqSaqaS当时，1qqqaSnn1)1(111。2通过上面这个式子，我们好像在无意之中把1nS求了出来，nS却没有求出来。这时候学生会有疑惑，教师需要继续引导学生。虽然我们没有把nS求出来，但是求它的方法已经有了，如果我们把上面求解过程中的nS都换成1nS，那么最后得到的结果不就是nS了吗？另外还可以告诉学生，在这里得到1nS和nS是等价的，让学生对于数列下标有更清楚的认识。到这里，我们已经求出了nS，如果针对解题来说，到这里结束也就可以了，但是如果作为教师来说，在这里结束，却犹如在授学生以渔的过程中，只教会了学生钓鱼，还没有教会学生撒网打鱼。到这里之后，教师要回过头来总结一下我们求解nS的过程。在求解nS时，我们先求出来的是1nS，而在求1nS时，得到⑤式又是一个关键点。我们将④式右侧括号中的项提取公因式q得到⑤式，如果我们逆向思维，反过来考虑，将④式两边同时乘以公比q呢？一句话点到要害，继续引导学生，让学生动手验证，得到nnnnqaqaqaqaqaqS11121211，⑥将①式中11211nqaqaqa作为整体代入⑥式，学生们很容易就得到了等比数列前n项和公式。到这里，就与教材衔接起来了。这样处理，既可以打消学生关于①式两边为什么乘以q的疑虑，又为错位相减法打好了基础，同时还揭示了错位相减法的实质就是整体代入消去法。当然，处理上面问题的方法肯定不止一种，例如，在处理①式时，有的学生可能会想到把1a提取公因式，得到)1(121nnqqqaS，⑦在⑦式中，1a是常数，要解nS，只要求出括号中的式子之和就行。这时，我们不妨构造首项为1，公比为q的新数列}{nb，令121nnqqqT，问题转化为求nT，接下来处理的方法跟上面一样，解得qqTnn11。3错位相减法的推广其实，教材中的求和问题只是一类数列的求和问题的特例，我们可以推广到更为一般性的求和问题：一个非零等差数列与一个公比不是1的等比数列的对应项之积构成的新数列的求和。我们称这类数列为差比数列。下面我们先来推广这类问题的求和。已知：数列}{na、}{nb分别为等差和等比数列，其首项分别为a、b，公差为d，公比为)1(qq，，nnnbac，则数列}{nc即为差比数列，记其前n项和为nS，则3，132332211])1([)3()2()(nnnnbqdnabqdabqdabqdaabbabababaS观察上式的第二行，如果将其展开，我们可以得到L])1(32[)1(])1(32[)(132132132132nnnnnqnqqqdbqqqqabdbqndbqdbqdbqabqabqabqabqabS上式第一个括号内各项之和我们实际上已经得到了（前文的nT），如果能把后面中括号内各项之和求出来，问题就解决了。令132)1(32nnqnqqqQ，⑧考虑用前文所述整体代入消去法，将⑧两端同时乘以q，得到nnnqnqnqqqQ)1()2(2132，⑨将⑨式整理，代入⑧式，得到nnnnnnnqnqQTqnqnqqqqqqQ)1()1()1(])2(2[][132132qqnqqqQnnn1)1()1(2，⑩∴nnndbQabTSqbqdnaabqqqdbnn1])1([)1(2（*）（*）式即为差比数列的求和公式。从（*）式的推导过程我们可以看出，分组求和以及整体代换的思想在数列中的广泛应用，错位相减法只是形式上的称呼，整体代换才是本质的特征。参考文献：[1]普通高中课程标准实验教科书:数学(A版，必修5).北京:人民教育出版社,2004:62.[2]郑毓信.数学教育从理论到实践:热点透视与个案点评.上海:上海教育出版社,2001:213.