椭圆典型例题整理

1椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.所以椭圆的标准方程是y24＋x23＝1.2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程．解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为x225＋y224＝1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1.椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例．求过点(－3,2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．解：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2a2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a2＋4a2－5＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为x215＋y210＝1.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得021222xaxa，∴222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，∴42a，∴1422yx为所求．五、求椭圆的离心率问题。2例一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222cac∴223ac，∴3331e．例已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值．解：当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b，得12kc．由21e，得4k．当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12．由21e，得4191k，即45k．∴满足条件的4k或45k．六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为x225＋y29＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)答案：x225＋y29＝1(y≠0)2．已知椭圆的标准方程是x2a2＋y225＝1(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周长．因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝41，所以△ABF2的周长为4a＝441.3．设F1、F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点,P是椭圆上的点，且PF1:PF2＝2:1，求△PF1F2的面积．解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(25)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为12PF1·PF2＝12×2×4＝4.3七、直线与椭圆的位置问题例已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k．解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky．代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxkkxk．由韦达定理得22212122kkkxx．∵P是弦中点，∴121xx．故得21k．所以所求直线方程为0342yx．解法二：设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，，则由题意得④1.③1②12①12212122222121yyxxyxyx，，，①－②得0222212221yyxx．⑤将③、④代入⑤得212121xxyy，即直线的斜率为21．所求直线方程为0342yx．八、椭圆中的最值问题例椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标．解：由已知：4a，2c．所以21e，右准线8xl：．过A作lAQ，垂足为Q，交椭圆于M，故MFMQ2．显然MFAM2的最小值为AQ，即M为所求点，因此3My，且M在椭圆上．故32Mx．所以332，M．双曲线典型例题4一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例1讨论192522kykx表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于9k，25k，则k的取值范围为9k，259k，25k，分别进行讨论．解：（1）当9k时，025k，09k，所给方程表示椭圆，此时ka252，kb92，16222bac，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259k时，025k，09k，所给方程表示双曲线，此时，ka252，kb92，16222bac，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25k，9k，25k时，所给方程没有轨迹．说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例2根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点4153，P，5316，Q且焦点在坐标轴上．（2）6c，经过点（－5，2），焦点在x轴上．（3）与双曲线141622yx有相同焦点，且经过点223，解：（1）设双曲线方程为122nymx∵P、Q两点在双曲线上，∴12592561162259nmnm解得916nm∴所求双曲线方程为191622yx说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x轴上，6c，∴设所求双曲线方程为：1622yx（其中60）∵双曲线经过点（－5，2），∴16425∴5或30（舍去）∴所求双曲线方程是1522yx说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．5（3）设所求双曲线方程为：160141622yx∵双曲线过点223，，∴1441618∴4或14（舍）∴所求双曲线方程为181222yx说明：（1）注意到了与双曲线141622yx有公共焦点的双曲线系方程为141622yx后，便有了以上巧妙的设法．（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．三、求与双曲线有关的角度问题。例3已知双曲线116922yx的右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线上的左支上且3221PFPF，求21PFF的大小．分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．解：∵点P在双曲线的左支上∴621PFPF∴362212221PFPFPFPF∴1002221PFPF∵100441222221bacFF∴9021PFF说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例4已知1F、2F是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且满足9021PFF，求21PFF的面积．分析：利用双曲线的定义及21PFF中的勾股定理可求21PFF的面积．解：∵P为双曲线1422yx上的一个点且1F、2F为焦点．∴4221aPFPF,52221cFF∵9021PFF∴在21FPFRt中，202212221FFPFPF6∵162212221221PFPFPFPFPFPF∴1622021PFPF∴221PFPF∴1212121PFPFSPFF说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．五、根据双曲线的定义求其标准方程。例5已知两点051，F、052，F，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．∵5c，3a∴16435222222acb∴所求方程116922yx为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．例:P是双曲线1366422yx上一点，1F、2F是双曲线的两个焦点，且171PF，求2PF的值．分析：利用双曲线的定义求解．解：在双曲线1366422yx中，8a，6b，故10c．由P是双曲线上一点，得1621PFPF．∴12PF或332PF．又22acPF，得332PF．说明：本题容易忽视acPF2这一条件，而得出错误的结论12PF或332PF．说明：(1)若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解．六、求与圆有关的双曲线方程。例6求下列动圆圆心M的轨迹方程：（1）与⊙2222yxC：内切，且过点02，A（2）与⊙11221yxC：和⊙41222yxC：都外切．（3）与⊙93221yxC：外切，且与⊙13222yxC：内切．分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙1C、⊙2C的半径为1r、2r且21rr，则当它们外切时，2121rrOO；当它们内切时，2121rrOO．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．解：设动圆M的半径为r7（1）∵⊙1C与⊙M内切，点A在⊙C外∴2rMC，rMA，2MCMA∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：22a，2c，27222acb∴双曲线方程为2172222xyx（2）∵⊙M与⊙1C、⊙2C都外切∴11rMC，22rMC，112MCMC∴点M的轨迹是以2C、1C为焦点的双曲线的上支，且有：21a，1c，43222acb∴所求的双曲线的方程为：43134422yxy（3）∵⊙M与⊙1C外切，且与⊙2C内切∴31rMC，12rMC，421MCMC∴点M的轨迹是以1C、2C为焦点的双曲线的右支，且有：2a，3c，5222acb∴所求双曲线方程为：215422xyx说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）yx4