高级宏观经济学(暨南大学-王洪)

暨大经院王洪光11动学的昀优化入门1.1问题;1.2拉格朗日乘子法的应用;1.3昀大值原理;1.4动态规划;1.5无限期界规划;应用举例:昀优增长模型暨大经院王洪光2()()()[]()()[]()()()()()()0,,/0,,/,,,c,xfL11100010t1110t110t110001T0ttt=+−+=∂∂=+=∂∂−+−++=−++−+=+++−=++−=+−=++−=∑∑∑∑ttttxtttxtttctttctTtttTtttttTtttttcxgcxfxLcxgcxfcLxxxxcxgcxfxxcxgxxλλλλλλλλλ()()1-T,0,1,,,..,max110L=+=+−=∑txcxgxtscxfttttTttttx为状态变量,tctx的初始值0x这里T为计划期间,为控制变量,.00xx=给定,1.2拉格朗日乘子法的应用(1)(2)昀优化的必要条件为1,1,01.1问题构造拉格朗日函数如下−=TtL1,1,0−=TtL暨大经院王洪光3()0/0/0,/00011=−=∂∂=−=∂∂=−+=∂∂++TTtttttxLxxLxxcxgLλλλ这里变量的个数（c：T个；x:T+1个；：T+1个）=方程的个数=3T+2.1.3昀大值原理1.31微分方程式与差分方程式的关系,=+cxhgxttht()()tttththtttht，cxgdtdxhxx通常假定hxcxhgx==−=+=+→+0lim1,），可以推出（对于差分方程(4)(5)(3)1,1,0−=TtLλ暨大经院王洪光4(1),(2),(3)用连续时间可表示为()()()()0,,,00,,=+→⇒=++ttctttcttchtttccxgcxfhcxgcxfλλ(1a)()()[]()()()ttxtttxtthtttxhtttxcxgcxfdtdcxgcxfh,,,,λλλλλ+−=⇒+−=+++(2a)()(]Ttcxgdtdxttt,0;,∈=(3a)00xx=(4a)0=Tλ(5a)1.32昀大值原理考虑下面的哈密尔顿函数()()ttttttcxgcxfHλλ,,,max+≡iscostatevariable.(1b)()()⇔=+=∂∂0,,/ttctttctcxgcxfcHλ(2b)()()⇔−−=∂−∂=ttxtttxttcxgcxfxHdtd,,//λλ(2a)(1a)暨大经院王洪光5(3b)()⇔=∂∂=ttttcxgHdtdx,//λ(3a)总结()∫Tttdtcxf0,max()tttcxgx,=&Subtoxx=0()()()()()()()()()()TVC)0,4,320,,/max1,,0（哈密尔顿函数====+−=−==+=∂∂⇒⇒+≡TtttxxxtttctttcctttttxxccxgHxcgfHccxgcxfcHHccxgcxfHtλλλλλλ&&昀优化的必要条件连续时间模型给定，自由变动Tx暨大经院王洪光6()()xxxcxgxtscxfttttTttt=+=+−=∑0110,,..,max沿着上述问题解的路径已经求解到ttˆ=，1ˆ+t期问题的解一致。这就是所谓的Bellman原理。期以后的解与将()()(){}1,max++=tttctxVcxfxVt()ttttxcxgx+=+,1代入上式可得把定义()(),,max1∑−=≡TtstttcxfxV则有以下的Bellman方程式：看作给定，求解剩余的()()()(){}()()[]{}()()(0,,,,max,,max1=′+⇒++)++=+ttctttctttttctttttctcxgxVcxfxcxgVcxfxcxgVcxfxVtttx微分，有(1d)(2d)tTˆ1−−txˆ（1d)两边对1.4动态规划暨大经院王洪光7()()()()[]1,,1+′+=′+ttxtttxtcxgxVcxfxV(3d)这里，若令(),ttxVλ≡′则(2d),(3d)与拉格朗日乘子法推出的条件相同。1.5无限期界规划1.51离散时间()()0010,,..,maxxxxcxgxtscxftttttttt=+=+∞=∑ββ为贴现因子,()ρρβ,1/1+=为贴现率.()()()tttssststsstssxVcxfcxfββββ==∑∑∞=−∞=,max,max()()(){}()()(){}111,max,max++++=⇒+=tttcttttttcttxVcxfxVxVcxfxVttββββ根据Bellman原理暨大经院王洪光8昀后一式即为含有贴现的动态规划问题的Bellman方程式.1.52连续时间()()000,,..,maxxxcxgxtsdtcxfetttttt==∫∞−&ρ哈密尔顿函数()()ttttttcxgcxfeH,,ˆλρ+=−()()()()()()()()tttttxtttxtttttctttccxgHxcxgcxfexHcxgcxf,/3,,/ˆ20,,eHˆmax1tct=∂∂=−−=∂−∂==+=−−λλλλρρ&&,qettt=λρ令必要条件()()xtxttctcgqfqqgqf−−=′=+′ρ&201问题则暨大经院王洪光9重新定义哈密尔顿函数为()()()()()()()tttttttttctttcctttttt，cxgqHxadditionInxHqqcxgqcxfH则cxgqcxfHeHt=∂∂=∂∂−=⇒′=+′⇒+==/,/20,,1max,,,ˆ&&ρρ注意:无限期界的经济问题中昀常用的TVC是.0lim0lim=⇒=−∞→∞→tttttttxqexρλ1.6应用举例:昀优增长模型1.61离散时间模型()()0,1/1,max0+=∑∞=ρρββtttcu暨大经院王洪光10()()()()().0;0;,,ˆ;10;0;0,..1′′′==′′′−−+=+ttttttttkFkFlkFlkFuuHerekckFkkts常数δδ()()()()(){}1ttctstststkVcumaxkVBellmancumaxkVt+∞=−+=≡∑ββ方程式为，则记()()1max..+′=′⇒ttckVcu和tstβ(1)即现在的边际效用=将来的边际效用。更进一步地，Bellman方程两边对微分有tk()()()[]()()()()()()[]ttttttttkFcucukVcukFkVkV′+−′=′⇒′=′⇒′+−⋅′=′−−+δββδβ111111(3)(2)暨大经院王洪光11(3)式称为消费的尤拉方程式，它与约束条件一起构成表达昀优解的动学体系。对(3)的解释:()()()()ρδ+−′+=′′⇒−1131tttkFcucu()0lim=′∞→tttkkVTVC上式左边代表消费的异时点间替代率，而右边的分子母中1以外的项则分别代表资本的净边际生产率与贴现率。由于()()()(),0;0maxs′′′⇒=∑∞=−tttstsctkVkVcukVtβ()()()()()0lim./=≤′⇒≤′∞→ttttttttkVWhilekVkVkkkVkV(必须)，故TVC成立。Seefigure1.1.所以该函数是凹的。因此，暨大经院王洪光121.62连续时间模型()dtcuettct∫∞−0maxρ()tkv′()tkvtkv/vtkFigure1.1()00,..kkkckFktstttt=−−=δ&暨大经院王洪光13()()()[]()()()[]ρδδρ−−′′′′−=⇒′−+′′′=tttttttttkFcuccucckFcuc&&tcu昀后一式即为消费的尤拉方程式。()()()()()()()tt00ckmax/2/;lim0ttttttcttttttttttttttHucqFkHucqqqHkFkqkHqFkckkkTVCeqkρδρρδδ−→∞=+−−⎡⎤⎣⎦′⇒=′=−∂∂=+−=∂∂=−−==&&().tttqccu&&=′′哈密尔顿函数必要条件(1)(3)(4)(1)两边对t微分有将上式带入(2)可推出暨大经院王洪光14附：连续时间模型必要条件的粗略证明()()dtkckkFdtecuLTttttttTt∫∫−−−+=−00)(~&δλρ对该模型构造如下拉格朗日函数：令()dtcuettct∫∞−0maxρ()00,..kkkckFktstttt=−−=δ&()()()ttttttckkFecuH−−+≡−δλρ~()TttTTttttkdtkHdtkHL000~~~λλλ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−=∫∫&&则暨大经院王洪光15.~/;0~;/~;0/0.~)~.;T0ttTttTTTtttttttttttHkgivenkkHcHLkdtccHkkHLLLLkkkcccλλλλλ∂∂===∂−∂==∂∂⇒=ΔΔ−⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ∂∂+Δ+∂∂=ΔΔ+→⇒Δ+→Δ+→∫&&&或（其中，下面计算在昀优路径上，消费与资本存量发生微小变动时拉格朗日函数的变化量，这一变化量应该等于零，即暨大经院王洪光16162代表性家庭模型2.3市场均衡2.4完全预见竞争均衡2.5昀优增长问题2.6应用:财政政策的效果2.1家庭行动2.2企业行动暨大经院王洪光17暨大经院王洪光17()..max0tsdtcuett∫∞−ρgivenacwarattttt=−+=0,&()()0;0′′′ttcucu2代表性家庭模型代表性家庭模型是为宏观经济分析提供微观支撑的两大模型方法之一（另一方法为OLG模型）。本章建立这一模型并用它研究昀优增长问题以及财政政策的效果。假定:要素市场与产品市场是完全竞争的；计划的期界无限长；家庭无差别。2.1家庭行动不考虑人口增长，家庭的个数标准化为1。家庭求解以下问题:，暨大经院王洪光18其中，工资。利息率；期期初资产存量消费====ttttwrac;t;ttwr，假定家庭对由市场决定的能完全预测，他们在昀大化自己的效用时将它们视为既定。哈密尔顿函数()[]ttttttcwarqcuH−++=昀优化的必要条件()()tttttttcqraHqqqcuHt−=∂∂−==′⇒⇒ρρ/max&(1)(2)暨大经院王洪光19givenaaqecwarqHatttttttttt==−+=∂∂=−∞→0,0lim/ρ&(3)(4)Euler方程式(1)的两边对t微分有:().tttqccu&&=′′由该式与(2)可推出:()()[]ρ−′′′−=ttttttrccucucc&暨大经院王洪光20暨大经院王洪光20()()ρσ−=⇒tttrcctc&这里，()()()0/′′′−=ttttcuccucσ为瞬时替代弹性，因(4)为TVC．下面看一下其含义。先看离散型的情况:()⇒−++=+tttttcwraa11()()()()()()[]tstststststcu/cudc/cdc/ccu/culimc′′′′−=→σ注意它也是效用函数曲率或边际效用对消费的弹性的负倒数。暨大经院王洪光21()000011cwraa−++=()111121cwraa−++=()KK222231cwraa−++=把上面三个式子合在一起有()()()()()()()()22211210021003111111cwrcwrrcwrrraa−++−+++−++++=221100232211000RcRcRcRaRwRwRwa+++=+++于是有，暨大经院王洪光22暨大经院王洪光22考虑到T-1期为止时有010101///aRwRcRatTtttTttTT+=+∑∑−=−=−其中，()()()()itittrrrrR+=+++≡Π=1111010L,0R/lim1−∞→TTTa0001///limaRwRcRattttttTTT+=+∑∑∞=∞=−∞→000//aRwRctttttt+∑∑∞=∞=这样的话，效用不可能达到昀大。要使效用昀大，须让,0R/lim1=−∞→TTTa∗()若则暨大经院王洪光23000//aRwRctttttt+=∑∑∞=∞=上式称为非蓬齐对策条件(Non-Ponzigame).连续的情形：()∗