第八章--空间问题的解答

第八章空间问题的解答学习指导本章介绍空间问题按位移求解的方法和按应力求解的方法，其思路和步骤与平面问题相似。读者可对照平面问题来学习和理解。空间问题的位移法比应力法尤为重要。一是因为位移法可以适用于各种边界条件的问题；二是位移法的未知函数数目比应力法少，而在空间问题中，又没有如平面问题那样，有普遍性的应力函数存在。在近似解法中，位移法得到广泛的应用。为了便于空间问题的求解，力学家和数学家提出了一些应力函数、位移势函数和位移函数等来表示应力或位移，使相应的微分方程得到简化，并从而得出了一些解答。但读者应注意，这些函数都是人为假定的和有局限性的，并不能作为问题的一般解，因为并不能保证这些函数在任何情况下都存在。扭转问题是空间问题中的一个专门问题。扭转问题的理论，是从空间问题的基本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立起来的。扭转问题的应力函数Φ（x，y），是x，y坐标变量的函数，所以仍然是二维问题。§8-1按位移求解空间问题对于直角坐标系（x，y，z）中的一般空间问题，按位移求解的方法与平面问题相似，即取u，v，w为基本未知函数。将应变用位移来表示。可以引用几何方程（7-11）。将应力用位移来表示。可以通过物理方程(7-14)，将应力先用应变来表示；再代入几何方程，从而得出,112,,,,81,21xyzEuxxyzuvwEwvyz其中xyzuvwxy。将式（8-1）代入区域内的平衡微分方程（7-1），得到求解位移的基本方程，210,,,,,822112xEufxyzuvwx其中▽2是空间问题的拉普拉斯算子，222222283xyz。将式（8-1）代入应力边界条件（7-5），得出用位移表示的应力边界条件，11222,,,,84xsEumvunwulfxxyxzxyzuvw。在s上位移边界条件仍为,,85suuuvw。在s上归纳起来讲，按位移求解空间问题，位移u，v，w必须满足（1）区域内的平衡微分方程（8-2），（2）sσ上的应力边界条件（8-4）和（3）su上的位移边界条件（8-5）。在空间问题中，按位移求解比按应力求解尤为重要。原因是：在平面问题中，按位移求解u，v两个未知函数，而按应力求解却有三个未知函数。但艾里导出了平面问题的应力函数Φ并证明了它的存在性，使按应力求解转化为只求一个未知函数Φ的问题。在空间问题中，按应力求解包含6个未知函数，且没有可供简化的普遍性的应力函数存在。而按位移求解只有三个未知函数，比应力法的未知函数的数目少得多。用位移表示应力边界条件较为简单，因此位移法适用于各种边界条件的问题。而用应力表示位移边界条件时，要进行积分运算并包含了待定项，使表达式既复杂又不易求解，从而限制了应力法的应用。在近似解法中，位移法得到了广泛的应用。对于柱坐标（ρ，φ，z）中的空间轴对称问题，按照相似的步骤可以导出按位移求解的方程。按位移求解空间轴对称问题，包含两个未知的位移函数up和uz(uφ=0)，它们应满足：（1）区域内用位移表示的平衡微分方程，即教科书中式（8-4），（2）sσ上的应力边界条件（用位移表示），（3）su上的位移边界条件。由于ρ和z坐标相互之间不具有对等性，因此，ρ和z对应的方程和边界条件也不具有对等性。空间轴对称问题的边界面，通常都是ρ和z坐标面，因此，边界条件也较为简单。思考题试导出空间问题中sσ上的应力边界条件（8-4）。试导出空间轴对称问题中用位移表示的平衡微分方程，教科书中式（8-4），并将sσ上的应力边界条件（sp）,=f用位移来表示。§8-2半空间体受重力及均布压力本题作为空间问题，按位移求解。其方法是，基本未知函数u，v，w应满足：（1）区域内的平衡微分方程（8-2），（2）sσ上的应力边界条件（8-4）和（3）su上的位移边界条件（8-5）。对于具有对称性的问题，首先考虑对称性条件，能使问题预先得到很大的简化。本题是半空间体的边界上，受有均布压力q，在体积内受有重力fz=ρg。从图8-1可见，任何x面和y面均为对称面，因此，可设定0,0,,uvwwza然后进行求解：将位移代入平衡微分方程（8-2），前两式自然满足，而第三式成为一个常微分方程，求出解答为211221gwzABbE。由式（b）及（a）求出应力分量，再代入z=0的应力边界条件00,,0zxzyzzqc。后两式自然满足，由第式解出A=ρg。读者应注意，在一般的空间问题的边界条件中，边界面是一个面，不再如平面问题的边界可简化为一条线；且边界条件应有三个，分别对应于x，y，z方向。本题只有一个z=0的受面力的边界面，没有受约束的边界面su。但为了求出w中的刚体位移分量B，即2112,21gqwzBdEg还需要考虑刚体约束条件，如书中所讨论。侧压力系数是,1yxzze它表示侧面压力与铅直压力之比。我们可以进一步讨论如下：当μ=1/2时，sx=sy=sz，此时已成为各向相同的应力状态。从μ本身来讲，μ大，则侧向变形大，侧向压力也大。μ=1/2，说明物体的刚度极小，柔度极大，实质上已与流体相同。当μ=0时，正应力不引起侧向变形，说明物体的刚度极大，已与刚体相同。按位移求解空间问题，也可以引用位移势函数和位移函数，以简化求解的方法。读者同样应注意，这些人为假定的位移势函数或位移函数，不具有普遍性，只能用来解决某些问题。但作为解决问题的思路和方法，是值得我们参考和借鉴的。用位移势函数求解空间问题假设位移u，v，w是有势的函数，它们可以分别用位移势函数Ψ（x，y，z）的导数来表示，即1,,86uuxyzEx。将上式代入用位移表示的平衡微分方程（8-2），若不计体力，则得20,,xyzax。式（a）可以归并为2,Cb其中C为任意常数。若取C=0，则上式成为拉普拉斯方程，Ψ为调和函数，即2087。将式（8-6）代入应力公式（8-1），则应力也可以用位移势函数表示为222,,,88xyzxyzxyz。求解的方法是：（1）由▽2Ψ=0求出Ψ势函数；（2）由Ψ求位移[式（8-6）]及应力[式（8-8）]；（3）使位移和应力满足sσ和su上的边界条件。位移势函数的局限性是，Ψ是人为假定的，且相应的体积应变θ=▽2Ψ=0，因此，它只适用于弹性体内各点均无体积应变的情形（如纯剪切问题）。用伽辽金位移函数求解空间问题伽辽金假定位移可以表示如下形式，222121,121,89121uExxyzvEyxyzwEzxyz。其中ξ，η，ζ均为x，y，z函数。由于（x，y，z）具有对等性，上式也用对等的公式表示。将位移表达式（8-9）代入用位移表示的平衡微分方程（8-2），若不计体力，则得4440,0,0810。式（8-10）是ξ，η，ζ应满足的方程，可见它们都是重调和函数。应力也可以用位移函数来表示。于是，求解空间问题的位移u，v，w就化为求解ξ，η，ζ函数的问题，它们都应满足重调和方程（8-10），并在边界上满足相应的边界条件。引用这种位移函数，其未知函数的数目并没有减少，但使它们应满足的方程简化了。力学家曾应用上述位移势函数和位移函数解出一些空间问题的解答，有时还采用二者组合的方式来求解空间问题。思考题如果图8-1的问题改为平面应力问题，或平面应变问题，试考虑应如何按位移求解？若将空间问题的伽辽金位移函数向平面应变问题简化，将得出什么形式的表达式？再转向为平面应力问题，又将得出什么形式的表达式？并与平面问题的位移函数相比较（见第二章小结）。试由伽迪金位移函数的表达式（8-9），导出式（8-10）。§8-3半空间体在边界上受法向集中力图8-2表示半空间体在边界上受一法向集中力的问题。显然，它属于空间轴对称问题。采用按位移求解的方法，其基本未知函数uρ和uz只是ρ和z的函数，它们应满足：两个用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程，见教科书§8-3中式（a）。半空间体只有一个水平边界面z=0，且为应力边界条件。由于在O点有集中力F作用，因此，边界条件应分为两部分考虑：a.除原点以外的表面上，有0,zzzza。应用圣维南原理来处理O点附近小边界上的条件，取出z=0~z的一片薄板，考虑其平衡条件00,20zzzzFdFb。这里应注意，在空间轴对称问题中，应力边界条件也退化为2个，对应于ρ和z方向。在考虑z=0~z板的平衡条件时，应有6个条件，∑Fz=0，∑Fy=0，∑Fz=0和∑Mx=0，∑My=0，∑Mz=0，但由于位移和应力已经满足了轴对称条件，因此，除式（b）外其余的平衡条件都已自然满足。教科书中的解答（8-6）和（8-7）满足了上述全部条件，因而，它们是该问题之解。这个解答用于按连杆法求解基础梁板的空间问题，如教科书中所述。上述半空间体受法向集中力的问题，是应用空间轴对称问题的位移势函数和拉甫位移函数而得出解答的。在按位移求解中采用这些函数来表示位移，可以使空间轴对称问题得到简化，介绍如下。对于空间轴对称问题，当不计体力时，位移分量可以用位移势函数Ψ（ρ，z）表示为11,811zuuEEz。代入用位移表示的空间轴对称的平衡微分方程，见教科书§8-3中式（a），若不计体力，得22=0=0z，。这两式可归结为▽2Ψ=C，若取C=0，则位移势函数应满足拉普拉斯方程2=0812其中222221z。相应于式（8-11）的应力分量为222221===,813zzzz，，。于是，按位移势函数Ψ求解时，Ψ应满足拉普拉斯方程（8-12），并在边界上满足位移或应力的边界条件。采用位移势函数的局限性，如同平面问题中的位移势函数一样，仍然是体积应变为零，即20。引用拉甫位移函数求解空间轴对称问题拉甫引用位移函数ζ（ρ，z）来表示位移分量，22221,814121zuEzuEz。代入用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程，两式都得出40815。将式（8-14）代入几何和物理方程，便可得出应力用ζ表示的表达式，2222222222,1,8162,1zzzzzzz。于是，对于空间轴对称问题，可以引用位移函数ζ来进行求解。ζ应满足重调和方程（8-15），并在边界上满足位移或应力边界条件。思考题试由位移势函数的表达式（8-11），导出式（8-12）。试由拉甫位移函数的表达式（8-14），导出式（8-15）。§8-4按应力求解空间问题弹性力学中各类问题的基本方程和边界条件，以及基本解法都是相似的，其