高一(下)数学1.3.2球的体积和表面积教学讲义

1.3.2球的体积和表面积教学讲义球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=334R.注意：球的体积和表面积公式的证明略或以后证明.应用示例例1.一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好与铁球相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？解：设球未取出时高hPC，球取出后水面高xPH，如图2．因为rPCrAC3,3，所以以AB为底面直径的圆锥容积为：32233)3(3131rrrPCACV圆锥，334rV球．球取出后水面下降到EF，水的体积为：320291)30tan(3131rPHPHPHEHV水，而球圆锥水VVV，即33334391rrr，rx315，故球取出后水平面的高为r315．例2．在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径例3.已知圆台的内切球半径为R，且圆台的全面积和球面积之比为218，求圆台的上下底面半径1212,()rrrrPFBCHODEA图2例4.（1）一个球外接于正四面体，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________.（2）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________.分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a22，于是球的半径为a42，V=3242a.答案：3242a例5.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为21cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm3.分析：设四个实心铁球的球心为O1、O2、O3、O4，其中O1、O2为下层两球的球心，A、B、C、D分别为四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为22cm的正方形，所以注水高为(1+22)cm.故应注水π(1+22)-4×)2231()21(343πcm3.答案：（31+22）π课堂练习：若正方体的棱长为a，则⑴正方体的外接球直径＝.⑵与正方体所有棱相切的球直径＝.⑶正方体的内切球直径＝.2.长方体的共顶点的三个侧面积分别为3、5、15，则它的外接球的表面积为_____.3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.题型二与球有关的简单组合体1求体积为V的正方体的外接球与内切球的表面积与体积2棱长为a的正方体内接于球，求球的表面积3正方体的内切球与外接球的半径之比为多少？4若一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为多少？5半球内有一内接正方体，求这个半球的表面积与正方体的表面积之比6长方体一个顶点上三条棱长分别为3,4,5，且它的顶点都在同一个球面上，求这个球的表面积7正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球的四个面都相切，求棱锥的全面积与球的表面积例1.如图1(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.图1解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=a2,又∵4πR2=324π,∴R=9.∴AC=28''22CCAC.∴a=8.∴S表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.知能训练1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）A.1倍B.2倍C.59倍D.47倍分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r，则另两个为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2、16πr2、36πr2，5916436222rrr（倍）.答案：C2.（2006安徽高考，理9）表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）A.32B.3C.32D.322分析：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8×32432a知，a=1，则此球的直径为2.答案：A3.（2007北京西城抽样，文11）若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为2234=5，所以球的表面积是4π×52=100π.答案：100π4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm3）,每个钢球重145kg,并且外径等于50cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14,结果精确到1cm）.解：由于外径为50cm的钢球的质量为7.9×3)250(34≈516792(g),街心花园中钢球的质量为145000g,而145000＜516792,所以钢球是空心的.设球的内径是2xcm，那么球的质量为7.9·［3334)250(34x］=145000,解得x3≈11240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).答：钢球是空心的，其内径约为45cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=r2,则球的体积与三棱锥体积之比是（）A.πB.2πC.3πD.4π分析：由题意得SO=r为三棱锥的高，△ABC是等腰直角三角形，所以其面积是21×2r×r=r2,所以三棱锥体积是33132rrr，又球的体积为343r，则球的体积与三棱锥体积之比是4π.答案：D点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用.拓展提升问题：如图6，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）图6A.S1＜S2B.S1＞S2C.S1=S2D.S1,S2的大小关系不能确定探究：如图7，连OA、OB、OC、OD，则VA—BEFD=VO—ABD＋VO—ABE＋VO—BEFD+VO—ADF，VA—EFC=VO—AFC＋VO—AEC＋VO—EFC，又VA—BEFD=VA—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋SBEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.图7答案：C课堂小结本节课学习了：1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.作业课本本节练习1、2、3.设计感想本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r=RR330tan,圆锥母线l=2r=R32，圆锥高为h=r3=3R，∴V水=334332Rhr·3R2·3R333534RR，球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=R3,设上底面半径为r′，则高h′=(r-r′)tan60°=)'3(3rR,∴'3353hR(r2+r′2+rr′),∴5R3=)3'3')('3(322RRrrrR,∴5R3=)'33(333rR，解得r′=6331634RR,∴h′=(3123)R.答：容器中水的高度为(3123)R.例1（2006广东高考，12）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形.分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=233，则该球的表面积为S=4πR2=27π.答案：27π点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.变式训练1.（2006全国高考卷Ⅰ，理7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.32π分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=642221222，所以球的表面积为S=4πR2=24π.答案：C3.（2007天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.分析：长方体的对角线为14321222，则球的半径为214,则球的表面积为4π(214)2=14π.答案：14π1.一个空心钢球，外直径为12cm，壁厚0.2cm，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9g/cm3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4g/cm3）分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.解：空心钢球的体积为V钢=348.53463433×20.888≈87.45(cm3)，∴钢的质量为m钢=87.45×7.9=690.86(g).∵水的体积为V水=34×63=904.32(cm3)，∴水的质量为m水=904.32×1=904.32(g)＞m钢.∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m水.∴同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.例2图2是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的一个圆