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函数期末复习提要一、集合与简易逻辑：1．理解集合、子集、交集、并集、补集的概念。了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合。2．“或”、“且”、“非”的含义；真值表的运用；四种命题及其关系。例1．设集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R}，B={x|2x2-ax+2=0,x∈R}，若A∪B=A，求实数a的值组成的集合。解：化简集合A得A={1，2}，∵A∪B=A，∴BA，∴集合B有四种可能：，{1}，{2}，{1，2}。(1)若B=，则2x2-ax+2=0在实数范围内无解，∴Δ=a2-160,即-4a4。(2)若B={1}，则2x2-ax+2=0有理根1，将x=1代入得a=4；(3)若B={2},将x=2代入2x2-ax+2=0，得a=5，此时B={2,}，不合题意；(4)若B={1,2}时，将x=2代入2x2-ax+2=0，得a=5，此时B={2,}，不合题意。综上所述，a的取值范围是{a|-4a≤4}。点评：①本题要注意A∪B=A与BA的等价性。②要注意B=的可能性，否则会“缩小”解的范围。对于的存在，初学者往往容易忽略。例2．已知I={(x,y)|x,y∈R},A={(x,y)|y=3x-2},B={(x,y)|=3},求A∩B及()∪B。解：∵=3，∴y=3x-2(x≠2)，∴B是A的真子集。因此A∩B=B，且()∪B={(x,y)|x,y∈R,(x,y)≠(2,4)}。例3．设命题p:若m0，则关于x的方程x2+x-m=0有实数根。试写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断其真假。解：否命题：若m≤0，则关于x的方程x2+x-m=0无实数根。逆命题：若关于x的方程x2+x-m=0有实数根，则m0。逆否命题：若关于x的方程x2+x-m=0无实数根，则m≤0。∵Δ=1+4m，∴m≥-时方程有实数根．∵m0时，m≥-，∴方程有实数根，∴原命题为真，逆否命题也为真，但方程有实数根，m≥-，却推不出m0，∴逆命题为假，否命题也为假。（2）四种命题的关系原命题与它的逆否命题是等价的，同为真或同为假。点评：集合概念与集合运算建立后，不可避免地出现集合语言转化的问题，即如何将集合语言转化为我们已经熟知的语言，此时应注意求解的完备性（不缩小范围）和纯粹性（不扩大范围）。二、函数理解映射的概念，会判断给出的对应是否为映射，对给定的映射会求指定元素的象与原象。理解函数及其有关概念，掌握求函数定义域的方法，会求一些简单函数的值域。函数是从集合A到集合B的特殊映射。其特殊性体现在A、B为非空数集，自变量x的集合A是函数的定义域，函数值的集合C是函数的值域，A到C的对应法则f，称为函数的三要素，不要把集合B误认为是值域。而值域C是B的子集，即CB。函数的三要素是研究函数问题的出发点，由于函数的值域可以由对应法则和定义域唯一确定，因此两个函数的定义域和对应法则分别相同时，它们表示的是同一个函数，而三要素中有一项不同的两个函数，则为两个不同的函数，它们的图象也是不同的。例如：函数y=x2与函数y=x2(x≥0)是两个不同的函数。函数的表示方法有三种：列表法，图象法，解析法，有些函数是无法用解析式表示的。例1．下列对应是否为映射？（1）A={0,3,4}，B={-2,-,0,,2}，f:找平方根（2）A=Q，B=Q3，f:x→y=x3（3）A=R，B=R+，f:x→（4）A=R-，B=R，f:x→y=分析:根据映射的定义，判断一个对应是否为映射，只要检验对A中任何元素，按对应法则f，是否在B中都有唯一元素与其对应。解：（1）不是当A中x=3或4时，在f作用下，B中有两个象±，±2，不具备唯一性。（2）是（3）不是。当x=-1∈R时，无意义。（4）当x∈R-时，x的算术平方根无意义，即在f作用下，x在B中没有象，不具备任意性。例2．下列各组函数中，表示同一函数的一组是（）A、f(x)=,g(x)=B、f(x)=|x+1|,g(x)=C、f(x)=x0,g(x)=1D、f(x)=3x+2(x≥0)，g(x)=3x+2(x0)分析：先从三要素入手。A中两个函数的定义域分别为x≠1和x≠±1；C中f(x)定义域为x≠0,g(x)定义域为x∈R；D中f(x)定义域为x≥0,g(x)定义域为x0。∴应选B。例3．求下列函数的定义域（1）y=+（2）y=+分析:函数的定义域就是使函数的解析式有意义的自变量的取值集合。解：（1）由∴定义域为(-∞,-2)∪(-2,-1]∪[1,2)∪(2,+∞)。（2）由,∴定义域为{x|x0且x≠-3}。注意:在求使函数解析式有意义的条件时，对分式，应使分母不等于0；对偶次方根，应使被开方数大于或等于0；对具体问题要采取相应的措施。例4．（1）若f(x-3)=x2+2x+1,求f(x)；（2）若f(x-)=x2+,求f(x+1)+f(x-1)。解（1）：解法一：换元法令u=x-3,则x=u+3代入原式f(u)=(u+3)2+2(u+3)+1=u2+8u+16，∴f(x)=x2+8x+16。解法二：构造法f(x-3)=(x-3)2+8(x-3)+16,∴f(x)=x2+8x+16解（2）：f(x-)=(x-)2+2，即f(x)=x2+2，∴f(x+1)+f(x-1)=(x+1)2+2+(x-1)2+2=2x2+6。说明:换元法可以使复杂问题简单化。而使用构造法要有“整体观念”，如（1）中把x-3看在一个整体，作为自变量，将原式右边构造成以x-3为自变量的解析式，求函数解析式可以根据已知条件选用适当方法。例5．求下列函数的值域：（1）y=2x2-4x-1x∈[0,3]（2）y=+x（3）y=分析:函数的值域是由其定义域和对应法则共同决定的。确定函数的值域对于研究函数的性质及解决实际问题有重要的作用。解（1）：y=2x2-4x-1=2(x-1)2-3,x∈[0,3]，由其图象可知：值域为[-3，5]说明:对易画出图象的函数，可用数形结合的方法求其值域。解（2）：令u=≥0，则x=，∴y=+u=-(u-1)2+1，当u≥0时，-(u-1)2≤0，-(u-1)2+1≤1，∴此函数的值域为（-∞,1]。说明:利用换元法可将所给函数转化为二次函数，再使用配方法或数形结合的方法求其值域。但要注意换元后函数的定义域对值域的影响。解（3）：函数的定义域为{x|x≠0且x∈R}，将原式化为yx=x2+x+1，即x2+(1-y)x+1=0此关于x的二次方程有实根，故Δ≥0，即y2-2y-3≥0，解得y≤-1或y≥3，且当x=-1时,y=-1；当x=1时,y=3；∴此函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞)。三、理解分数指数幂和根式的概念，能正确进行分数指数幂与根式之间的互化，能熟练运用幂的运算法则进行指数运算。根式具备下列性质：（1）当n为任意正整数时，()n=a；（2）当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的一种新的写法，引入了分数指数概念，指数的范围就扩大到了有理数。分数指数幂与根式可以通过（1）=（2）=(a0,m,n∈N且n1)进行互化。原来整数指数幂的运算法则：（1）am·an=am+n（2）(am)n=amn（3）(ab)n=an·bn(a≠0,b≠0)例6．计算：解:原式=四、理解函数单调性和奇偶性的概念，及其几何特征，能熟练运用定义证明函数的单调性、奇偶性，能从数和形两个方面进行准确地判断。掌握求函数最大值，最小值的常用方法，注意对有关应用问题的分析的研究。例7．下列函数既是奇函数又是偶函数的是（）(A)f(x)=x2,x∈(-1,1](B)f(x)=+(C)f(x)=·(D)f(x)=|2x+3|-|2x-3|分析:(A)中x∈(-1,1)，定义域关于原点不对称f(x)为非奇非偶函数。(B)中由2x-1≠0,得x≠0,f(-x)+f(x)=+++=++1=+1=0即f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数。(C)中由x∈{-1,1}，因此f(x)=0，既是奇函数又是偶函数。(D)中，x∈R，f(-x)=|-2x+3|-|-2x-3|=-(|2x+3|-|2x-3|)=-f(x)，f(x)为奇函数。应选（C）。小结:在判断函数奇偶性时，可以把定义中的f(-x)=-f(x)转化为f(-x)+f(x)=0，也可以用f(-x)-f(x)=0来判断函数的奇偶性。例8．填空题：（1）已知偶函数f(x)在(0,π]上单调增，则f(-π),f(-),f(2)之间的大小关系是_____。（2）函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数，那么实数a的取值范围是______。分析:（1）由f(x)是偶函数，得f(-π)=f(π),f(-)=f(),问题转化成比较f(π)，f(),f(2)之间的大小关系，由f(x)在(0,π]上是增函数，得f(π)f(2)f(),即f(-π)f(2)(-)。（2）由函数的解析式可知，f(x)为二次函数其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=-=1-a,而f(x)在(-∞,4)上是减函数，则1-a应在4的右侧，即1-a≥4，得a≤-3。说明:此题也可用数形结合的方法，画出函数的草图，辅助对问题的分析和理解。例9．求函数y=f(x)=x2-2ax-1在闭区间[0，2]上的最值。分析：此题关键是搞清对称轴与闭区间[0，2]的位置关系。解：y=(x-a)2-a2-1，当a0时，其图象如图（1），当a0时，y最大=f(2)=3-4a，y最小=f(0)=-1。当0≤a≤1时，其图象如图（2），y最大=f(2)=3-4a，y最小=f(a)=-a2-1。当1a2时，其图象如图（3），y最大=f(0)=-1,y最小=f(a)=-a2-1。当a≥2时，其图象如图（4）,y最大=f(0)=-1；y最小=f(2)=3-4a。注意:此题运用了数形结合和分类讨论的思想，是对综合能力的考察。五、理解反函数的概念，对于用解析法表示的函数，熟练掌握求其反函数的方法，认识函数与其反函数的图象之间的关系。例10．函数y=(x-1)2(x≥1)的反函数是（）A、y=1-(x≥0)B、y=1+(x≥0)C、y=1±(x≥0)D、y=(x≥1)分析:y=(x-1)2(x≥1)的值域是y≥0，由互为反函数定义域、值域互“反”，可排除D。由y=(x-1)2可得x-1=±,由x≥1得:x=+1,故选B。小结:求已知函数的反函数，要先求出原函数的值域。例11．已知函数f(x)=x2+2x+2(x≥0)，那么f-1(5)的值为________。分析:可以先求出f-1(x)，再求出f-1(5)的值，但如果理解了f-1(5)的本质，就是原函数中的y取5时，对应的x值，只要解一个方程，问题就解决了。解：令x2+2x+2=5，则x2+2x-3=0，解得x=-3或x=1。由x≥0,舍去x=-3,∴f-1(5)=1。六、理解对数的概念，掌握对数式和指数式的互化，熟练运用对数的性质和运算法则进行对数运算。对数是指数的又一种表示形式，弄清对数式与指数式的关系是掌握对数意义及运算的关键，由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数，因此logaN=b中，必须N0，即零和负数没有对数，忽略了这一点，在对数运算和研究对数函数时，就会出现错误。对数的换底公式，为我们在解题时选择“合意”的底数提供了广阔的空间，公式成立的条件是每一个对数有意义，由换底公式可以推出以下对数恒等式。小结:掌握指数、对数函数的概念，图象和性质，会应用函数的单调性比较两个实数的大小，会研究由幂函数、指、对数函数，一次、二次函数复合而成的函数及其性质。并运用其性质解决应用问题。指数函数与对数函数是互为反函数，指数函数y=ax（a0且a≠1）的定义值R，值域（0，+∞）分别是对数函数y=logax(a0且a≠1)的值域和定义域，它们的图象关于直线y=x对称，所以它们的性质可以用类比的方法进行记忆，指、对数函数性