输运理论及性质

固体物理（II）第八章电子输运理论及性质第九章半导体电子论第十章固体的磁性第十一章超导电性第八章电子输运理论及性质能带结构输运性质载流子受到的散射或碰撞三个问题外场下作用下载流子的运动规律外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响引入驰豫时间描述采用半经典模型引入分布函数，并将这些影响归结到对分布函数的影响8.1外场下Bloch电子运动的半经典模型8.2Boltzmann方程8.3外场和碰撞作用8.4驰豫时间的统计理论8.5电-声子相互作用8.6金属电导率电阻率8.8磁输运性质霍尔效应磁电阻效应8.9热输运性质热电效应热导率热电势对外电场、磁场采用经典方式处理半经典含义对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理模型每个电子具有确定的位置r、波矢k和能带指标n建立模型描述r、k和n随时间的变化规律能带指标电子的速度波矢随时间的变化1/()()nkndrdtkk.ncons/(,)()(,)ndkdteErtkBrt(1)电子总呆在同一能带中(2)忽略不同带间的跃迁§8.1Bloch电子运动的半经典模型1/()()nkndrdtkk/(,)()(,)ndkdteErtkBrtBloch电子的运动方程对晶格周期场的量子力学处理全部概括在函数中()nk能带结构输运性质半经典模型使能带结构与输运性质即电子对外场的响应相联系输运性质能带结构同基于理论得到的能带结构进行比较从而验证能带结构的理论基础的正确与否提供了从能带结构推断出电子输运性质的理论基础基于输运性质的测量结果推断出电子的能带结构§8.2Boltzmann方程对固体中电子输运性质的了解，除载流子受到的散射或碰撞外，需要知道外场作用下载流子的运动规律以及外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响。外场下载流子运动规律可基于半经典模型现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和外场同时作用对载流子运动规律的影响？引入分布函数，并将这些影响归结到对分布函数的影响定义对于单位体积样品，t时刻、第n个能带中，在（r,k）处相空间体积内的电子数为：drdk3(,;)/8nfrktdrdk每一个电子对电流密度的贡献为n通常不标出，因为考虑的是同一带中的电子ke所以总电流密度为314kJefdk碰撞以及碰撞和外场同时作用对f的影响？在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系统的分布函数为费米分布函数与位置无关。有外场/温度不均匀时，电子将偏离热平衡，相应的分布函数,,)frkt（(,)rk点范围内,,)frkt（如何随时间变化呢？0()/1()1kBkukTfe,,)rvdtkkdttdt（,,)rkt（,,)frkt（t时刻（r,k）处的电子由于碰撞的存在，dt时间内从（r-dr,k-dk）处出发的电子并不都能到达（r,k）处，另一方面，t时刻（r,k）处的电子也并非都来自t-dt时刻（r-dr,k-dk）处漂移来的电子，因此有：(,,)(,,)frktfrdtkkdttdt(,,)(,,)frktfrdtkkdttdt碰撞项若将因碰撞引起的f变化写成则有(/)collft(,,)(,,)()collffrktfrdtkkdttdtdtt必来自t-dt时刻（r-dr,k-dk）处漂移来的电子若没有碰撞，则有,,)frvdtkkdttdt（kfrfkftcoll玻尔兹曼方程(,,)(,,)()collffrktfrdtkkdttdtdtt右边第一项展开，保留到dt的线性项，有(,,)(,,)()collfffffrktfrktrkdtdttrtk()collffffrktrtk对于稳态0ftkfrfkftcollBoltzmann方程决定于体系的能带结构与外场有关因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输运性质的理论基础半经典模型1/()()nkndrdtkk/(,)()(,)ndkdteErtkBrt§8.3外场和碰撞作用(1)温度场温度梯度的存在引起不均匀的分布函数通常假定非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少01fff01fffrrr0fr00ffTuTu(2)电场eEk01..[]fffkkkkk0.fkk0.efkE忽略掉温度梯度对f1的影响()/01/[1]BukTfekfrfkftcoll(1)温度场01fff00fffTurTu(2)电场0..effkkEk(3)磁场eBk01..[]fffkkkkk1.fkk1).(fekkB000fffkkk0.().0fkkkBk(3)磁场1.).(ffekkkBkkfrfkftcoll玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。假设没有外场，也没有温度梯度，那么如果电子的分布函数偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。0ffft(4)碰撞负号源于偏离随时间的增加而减小。方程的解：/011(0)tffffte该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数弛豫回到平衡分布。一般可以用弛豫时间来描述这个恢复过程：温度场、电场、磁场及碰撞作用同时存在下的Boltzmann方程0011()efffferkrkkEB温度场电场磁场碰撞kfrfkftcoll01()collfffft(4)碰撞(1)温度场00fffTurTu(2)电场0..effkkEk(3)磁场1.).(ffekkkBk得到代入§8.4固体电阻率314kJefdk在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为01effkE00feffEk泰勒定理：0)(0)'(0)......xdffxffdx（00)()()eefkfkEfkE（因此，该式相当于上述泰勒展开式的一级近似借助分布函数电流密度可表示为由于平衡分布对电流没有贡献1314kJefdk相当于同时注意到00....feffEk0011()efffferkrkkEB§8.4.1直流电导率说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了eEeE或者说，在k空间中，外加电场引起费米球刚性平移了注意到00kkff00keffEf00()fffvEe0)()efkfkE（eE0()fvk1/()kvkmk知道了分布函数就可以很方便的求出电流密度，只需对分布函数在相空间求积分：1314Jevfdk03()4fevevEdk00()fffvEe010()ffffvEe两个等能面之间的距离为dk面元为ds体积元为dkdsdk由于：kddkkdsddk203()4kfedsdJvvE01()exp[()/]1kkFBfEEEkT而：考虑K空间的两个等能面由于只在费米面附近才不为零，即0/f0()Ff所以积分只需考虑在费米面附近进行23()4FFSkdSeJvvE考虑一个立方体晶体，外场方向沿着Ox方向，电流沿着Ox2234FFxSxxxkdSeJvEE所以立方体晶体的电导率2234FFSxkdSev203()4kfedSdJvvE利用对称性2213xvv1/()kvkmk以及关系23112FFSevdS利用21/3(3)Fkn22/34(3)FSn/*vkm2234FFSxkdSev2()*FneEm得到得到和在自由电子气模型中得到的结果形式上相同，不同之处有两点，一是电子的质量为有效质量，二是驰豫时间为费米面上电子的驰豫时间。在多种散射机制存在下，总的散射几率是：iiPP总散射驰豫时间1111/kiiP电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、库仑作用等，往往存在着多种散射机制Pi代表第i种机制单位时间内的散射几率2nem由于22111kiimmnene故有意味着总电阻率是不同散射机制引起的电阻率之和马西森(Matthiessen)定则0pheemag＝＋剩余电阻率声子散射有关的电阻率电子－电子相互作用有关的电阻率磁散射有关的电阻率导体杂质、缺陷等散射电子－声子相互作用电子－电子相互作用磁散射导体电阻率至少包含四个部分§8.4.2导体电阻率常见的散射机制导体中或多或少存在缺陷或结构不完整或含有杂质离子，这些缺陷、结构不完整性和杂质将对传导电子产生散射，引起电阻。0与此相对应的电阻率称为剩余电阻率，记为0起因剩余电阻率与样品质量有关，是一个与温度无关的常数。通过低温下电阻率随温度关系的测量并外推到绝对零度，即可得到剩余电阻率。很明显，样品质量越好，也就是说，尽可能少的缺陷、结构尽可能完整、没有杂质的存在，0则越小。如果是理想导体，则剩余电阻率趋向于零。1、剩余电阻率0TemperatureResistivity2、磁散射有关的电阻率mag电子不仅携带电荷而且还携带自旋因此，电阻率应包含一项与自旋散射或磁散射有关的部分电子的自旋－自旋散射磁性离子对传导电子的散射磁性杂质对传导电子的散射高温自旋波对传导电子的散射引起的电阻率随温度按T2关系变化，即：低温2magT在高温（TTc）时，磁自旋无序散射引起电阻率，对温度的依赖性不强。磁性离子对传导电子的散射非磁金属电阻率费米面附近电子散射的驰豫时间散射矩阵元的绝对值。费米面能态密度。明显地，式中的物理量均与电子自旋是无关的2*/mne21~~[()]FlVgE因此，在非磁性金属中，电子的输运与电子的自旋无关电子的自旋－自旋散射铁磁金属Stoner提出了能带劈裂交换模型对于铁磁过渡金属来说,交换作用能与动能的平衡使系统不同自旋的子带发生交换劈裂,自旋向上的子带与自旋向下的子带发生相对位移,引起自发磁化,这样一来系统的动能虽然增加了,但由于其3d电子在费密面附近具有非常大的态密度,动能的增加不大,而交换作用能却大大减小,因而系统的总能量有所下降。交换劈裂使自旋向上的子带(多数自旋)全部或绝大部分被电子占据,而自旋向下的子带(少数自旋)仅部分被电子占据。二者的差异造成了铁磁过渡金属元素原子磁矩的非整数性.两子带的占据电子总数之差正比于它的磁矩。通常定义自旋极化度为N↑和N↓分别表示自旋向上和向下的电子数，D↑和D↓分别表示自旋向上和向下子带的态密度材料NiCoFeNi80Fe20Co50Fe50Co84Fe16自旋极化度(％)334544485149例如DDPDD或NNPNN电阻率*2/mne,21~~[()]FlVgE由于能带中的电子浓度、有效质量、散射的驰豫时间、电子运动的平均自由程以及费米面附近的电子态密度均与电子自旋的取向有关，因此，在过渡族金属及其合金中的电阻率应与电子自旋的取向有关。高阻态：自旋取向无序；低阻态：自旋铁磁性取向磁场可