高一函数与方程

课题第十讲：函数与方程授课日期教学目标1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2、理解函数的零点与方程的联系.教学内容函数与方程〖教学重点与难点〗◆教学重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法；◆教学难点：函数零点存在的条件。〖教学过程〗[来源:Zxxk.Com]一、函数的零点探究一元二次方程与相应二次函数的关系。出示表格，填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点x2-2x-3=0x1=-1，x2=3y=x2-2x-3（-1，0），（3，0）x2-2x+1=0x1=x2=1y=x2-2x+1（1，0）x2-2x+3=0无实数根y=x2-2x+3无交点（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像归纳：1.如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；2.如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。1.函数的零点概念：对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543yx0－12112.....（1）意义方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点（2）求函数的零点①代数法：求方程f(x)=0的实数根②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。2、函数零点的存在性（1）二次函数的零点△=b2-4acax2+bx+c=0的实数根y=ax2+bx+c的零点数△﹥0有两个不等的实数根x1、x2两个零点x1、x2△=0有两个相等的实数根x1=x2一个零点x1（或x2）△﹤0没有实数根没有零点xyx1x20xy0x1（图2-1）方程ax2+bx+c=0的判别式△﹥0时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像（图2-2）方程ax2+bx+c=0的判别式△=0时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像（2）探究发现问题1：二次函数y=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点？解：f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5f(1)=12-2*1-3=1-2-3=-4f(2)*f(1)=-4*5=-20﹤0问题2：在区间[2,4]呢？解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3f(4)=42-2*4-3=5f(4)*f(2)=(-3)*5=-15﹤0归纳：f(2)*f(1)﹤0，函数y=x2-2x-3在[-2，1]内有零点x=-1；f(2)*f(4)﹤0，函数y=x2-2x-3在[2，4]内有零点x=3，它们分别是方程y=x2-2x-3的两个根。结论：如果函数()yfx在区间,ab上的图像是连续不断的一条曲线并且有()()0fafb，那么，函数()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个c也就是方程()0fx的根。①图像在,ab上的图像是连续不断的②()()0fafb③函数()yfx在区间,ab内至少有一个零点xy0（图2-3）方程ax2+bx+c=0的判别式△﹤0时，函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像2、习题演练利用函数图像判断下列二次函数有几个零点①y=－x2＋3x＋5，②y=2x(x－2)+3解：①令f(x)=－x2＋3x＋5,做出函数f(x)的图像，如下（图4-1）它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根，则函数y=－x2＋3x＋5有两个零点。②y=2x(x－2)+3可化为做出函数f(x)的图像,如下：（图4-2）它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根，则函数y=2x(x－2)+3没有零点。xy0－13214862－24.....xy0－132112543.....二、用二分法求方程的近似解1.创设情境，导入课题支持人李咏说道：猜一猜这件商品的价格。观众甲：2000！李咏：高了！观众甲：1000！李咏：低了！观众甲：1700！李咏：高了！观众甲：1400！李咏：低了！观众甲：1500！李咏：低了！观众甲：1550！李咏：低了！观众甲：1580！李咏：高了！观众甲：1570！李咏：低了！观众甲：1578！李咏：低了！观众甲：1579！李咏：这件商品归你了。下一件……（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？1.先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。2.这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价。如果低了，每50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……3.先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……在现实生活中我们也常常利用这种方法。譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，（相距大约3500米）电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测还是按照生3那样来检测呢？按3那样来检测。3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）。2.讲解新课那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢？能否求解方程式?013;012;3lg32xxxxxx方程0122xx的解可用求根公式来解。不解方程，当然也不许用求根公式，如何求方程0122xx的一个正的近似解？（精确到0.1）（探究离不开问题，问题教学有赖于教师对问题情景的创设，以及问题的呈现方式）1、学生先自行探求，并进行组织交流。（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=122xx的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(2)0,f(3)0,可得出根所在区间(2,3)；②引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度。2、学生简述上述求方程近似解的过程。（通过自己的语言表达，有助于学生对概念的理解）（思考，解决。问题激励，语言激励），先画出函数图象的简图设,12)(2xxxf内，所以在区间因为)3,2(,02)3(,01)2(ff；有一解，记为方程12012xxx),5.2,2(0)5.2(,0)2(1xff),5.2,25.2(0)5.2(,0)25.2(1xff),5.2,375.2(0)5.2(,0)375.2(1xff),4375.2,375.2(0)4375.2(,0)375.2(1xff因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为4.21x3、揭示二分法的定义。指出运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。例题剖析例1.根据表格中的数据，可以断定方程02xex的一个根所在的区间是（）A(-1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)解析：我们可以通过什么来判断某根所在的区间的？),,(0)()(nmxnfmf有了这个依据，本题应选什么？为什么？Cxffffxexfx故选即设),2,1(0)2()1(0)2(,0)1(,2)(现在，判断某根所在区间有哪些方法？画图或利用函数值的正负来判断。变式训练：1））精确到的一个正的近似解？（求方程1.00133xx2））的近似解？（精确到求方程1.042xxx-10123xe0.3712.727.3920.09x+2123453）的根的个数为用二分法判断方程22xx（）A.1B.2C.3D.44)的根的情况是方程xx10)4lg(()A.仅有一根B.有一正根一负根C.有两负根D.无实根三、本课小结四、课后练习1.若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定解析：若函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则该零点是变号零点，则f(－2)f(2)0.若不是变号零点，则f(－2)f(2)0.2.设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1]B.[1,2]C.[－2，－1]D.[－1,0]解析：∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－230，f(0)＝30－0＝10，∴函数f(x)＝3x－x2在区间[－1,0]内存在零点.3.(2010·苏北三市联考)若方程lnx＋2x－10＝0的解为x0，则不小于x0的小整数是.解析：令f(x)＝lnx＋2x－10，则f(5)＝ln5＞0，f(4)＝ln4－2＜0∴4＜x0＜5∴不小于x0的最小整数是5.4.(2009·福建高考)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A.f(x)＝4x－1B.f(x)＝(x－1)2C.f(x)＝ex－1D.f(x)＝ln(x－12)解析：∵4个选项中的零点是确定的.A：x＝14；B：x＝1；C：x＝0；D：x＝32.又∵g(0)＝40＋2×0－2＝－1＜0，g(12)＝124＋2×12－2＝1＞0，∴g(x)＝4x＋2x－2的零点介于(0，12)之间.从而选A.5.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A.5B.4C.3D.2解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且周期是3，f(2)＝0，∴f(2)＝f(5)＝f(－2)＝f(1)＝f(4)＝0.6.设函数f(x)＝2221,,2xxxxx(-,1)则函数F(x)＝f(x)－14的零点是.解析：当x≥1时，f(x)－14＝2x－2－14＝2x－94＝0，∴x＝98.当x＜1时，x2－2x－14＝0，∵Δ＝4＋1＞0，∴x＝2±4＋12＝2±52，又∵x＜1，∴x＝2－52.∴函数F(x)＝f(x)－14有两个零点98和2－52.答案：98，2－52