数学物理方法第一章

1数学物理方法第一章复变函数一、基本要求：1、熟悉复数的基本概念和基本运算；2、了解复变函数的定义，连续性；3、了解多值函数的概念；4、掌握复变函数的求导方法及C-R方程；5、了解解析函数的概念，熟悉一些简单的解析函数的表示式。二、本章重点：复变函数的运算、C-R条件、解析函数。2数学物理方法§1.1复数与复数运算1、复数定义设x和y为两个实数，而（即i2=-1），则：称为复数。其中x称为z的实部，记为：Rez；y称为z的虚部，记为：Imz。而称为的复共轭，记为：z。1izxiyxiyzxiy3数学物理方法2、复数表示代数表示：几何表示：一个复数可用平面上一个点或一个矢量表示，如图1所示。注意：矢量的起点可以不在原点，因此长度和方向都相同的矢量表示同一个复数。x轴和y轴分别称为实轴和虚轴，复数z和平面上的点一一对应，这样的平面称为复平面。复数z可以用来表示复平面上的矢量。明显，z与z关于实轴对称。zxiyzyx图1.1复数几何表示复平面z4数学物理方法三角式表示：若改用极坐标（，）代替直角坐标，，则有：这就是复数的三角式表示。其中称为z的模，记为z；称为z的辐角，＋2n（n=0,1,2,）也是z的辐角，即复数的辐角不能唯一地确定。明显：复数“零”的辐角没有明确意义。cos,sinxycossincossinzii22;cos;sinxyxytanyx5数学物理方法指数式表示：。并有：及（欧拉公式）因此我们有：izeizecossinieicossinizxiyie6数学物理方法例1.1下列式子在复平面z上表示什么（1），（2）解：(见document1.1)例1.2把下列复数用代数式、指数式和三角式表示出（1）i，（2）-1，（3）z2解：(见document1.1)1Re2z1Re2z7数学物理方法3、复数运算复数相等：当且仅当两个复数的实部和虚部分别相等时这两个复数才相等。复数加减：复数乘除：复数的乘除用指数式更方便！1211221212zzxiyxiyxxiyy12112212121221111122112122112222222222222222zzxiyxiyxxyyixyxyxiyxiyxiyzxxyyxyxyizxiyxiyxiyxyxy8数学物理方法复数的乘除用指数式更方便！复数的n（整数）次幂：复数的n（自然数）次根：若0是z的辐角的某一值，则可取n个不同的值：12121122121212111222iiiiiizzeeezeezennininzeeinnnze02(0,1,2,,1)kinnnzekn9数学物理方法例1.3计算下列数值（a、b为实常数）（1）；（2）；（3）解：（见document1.3）aib3iii10数学物理方法4、无穷远点复平面上模为无穷大的点称为无穷远点。如图2，复平面z上的点与任意半径球面上的点（除原点北极外）一一对应，因此复平面上的无穷远对应球面（复球面）上的顶点（北极点），亦即复平面上无穷远点就一个。ξzNoZ平面y图1.2两复平面点对应关系x11数学物理方法§1.2复变函数为简单，这里不作严格定义。简单说，复变函数就是以复数z为自变量的函数。式中和是x，y的实函数。我们讨论的并不是普遍的复变函数，而是后面我们要讨论的解析函数。如果对于z的每一个值，ω各取一个值，则称ω为单值函数，否则为多值函数。(,)(,)fzuxyixy(,)uxy,xy（）12数学物理方法常见的函数：指数函数：三角函数：双曲函数：对数函数：若0是z的辐角的某一值，则（n为整数）都是lnz的值。即对数函数是一个多值函数。幂函数：（s为复数）我们还可以用类似于实数函数的定义方法定义反三角函数、反双曲函数等。值得注意的是正弦、余弦复变函数的模可大于1。zxiyxiyeeeesin,cos22izizizizeeeezzisinh,cosh22zzzzeeeezzlnlnlnizei0ln2inlnsszze13数学物理方法例1.4计算下列数值（a和b为实常数，x为实变数）（1）；（2）；（3）解：（见document1.4）sinaibln(1)cosix14数学物理方法§1.3导数1、区域区域：满足一定条件的点的集合称为区域B。其满足：（1）全由内点组成；（2）具有连通性。即点集中的任何两个点都可以用一条折线连接。边界点：本身不属于区域，边界点的全体称为区域的边界C。边界的正向：如果沿边界走，区域在左方，则走向称为边界的正向。闭区域：B与C所组成的点集。连续和一致连续：（略）15数学物理方法2、导数设ω=f(z)是区域G内的单值函数，如果在B内某点z，极限存在，并且是与z→0的方式无关的有限值，则称函数f(z)在z点可导，而以f′(z)表示这一极限值，并称为f(z)在z点的导数。00()()limlimzzfzzfzzz16数学物理方法因“与z→0的方式无关的有限值”，我们可考虑两种特殊方式：1）x→0，y=0，这样有：2）y→0，x=0，这样有：因此有：这两个方程称为科希－里曼方程。它是函数可导的必要条件，所以又称科希－里曼条件（简写为C-R条件）。00()limlimzxuiufzizxxx00()limlimzyuiufziziyyy,uuxyyx17数学物理方法例1.5证明C-R条件在极坐标（，）中的表示式为：解：（见document1.5）11,uu18数学物理方法§1.4解析函数在区域B内每一点都是可导的函数称为B内的解析函数。定理对于区域B上的连续函数ω=f(z)，其为解析的充要条件是满足C-R条件。（证明略）解析函数的实部和虚部不是独立的。知道了其中之一，就可根据C-R条件确定另一个。19数学物理方法例1.6已知解析函数f(z)的实部，求虚部和这个函数f(z)。解：见document1.620数学物理方法解析函数的几何解释函数ω=f(z)可以看着是复平面z上一个区域到复平面ω上相应区域的变换（或映射）。一般说来，它将复平面z上区域内的曲线族变为复平面ω上相应区域内的曲线族。如果f(z)是该区域的解析函数并满足条件f′(z)0，这种变换将平面z区域内过任意一点的两条曲线变为复平面ω上相应区域内过相应点的两条曲线后，在相应点上保持曲线间夹角不变。特别地，处处相互正交的曲线族变为处处相互正交的曲线族。所以，满足f′(z)0的解析函数ω=f(z)是复平面z到复平面ω的保角变换。这也称为解析函数的变换性质。21数学物理方法解析函数所代表的变换的保角性，是有条件的，这就是只在f′(z)0处才一定有保角性。在f′(z)=0的点，由于argf′(z)没有确定值，因而变换可能保角也可能不保角。巧妙利用变换在f′(z)=0处的不保角性，可以把z平面上的复杂图形变换为ω平面上的简单图形。22数学物理方法调和函数满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。解析函数的实部u(x,y)和虚部(x,y)满足C-R条件，两式分别对x和y求导：两式相加得：同样有：即解析函数的实部和虚部都是二维的调和函数。同一解析函数的实部和虚部称为共轭调和函数。,uuxyyx222222,uuyxxyxy22220uuxy22220xy23数学物理方法例1.7u(x,y)=xy是一个调和函数，求它的共轭调和函数及所组成的解析函数。解：见document1.724数学物理方法解析函数的物理解释物理量有标量和矢量，因此有标量场和矢量场。例如电势场、温度场、气压场均为标量场，其几何描述用等势线、等温线、等高线描绘；例如静电场、力场为矢量场，它们用力线描绘。25数学物理方法对于二维平面无源静电场，其电势(x,y)满足拉普拉斯方程：可见，解析函数的实部（或虚部）可以解释为某平面静电场的电势。电势的等值线称为等势线，电场线与等势线相互正交。因此，如果将解析函数的实部（或虚部）解释为某平面静电场的电势，那么解析函数的虚部（或实部）的等值线就是该静电场的电力线（电场线）。因此，解析函数也称为静电场的复势。22220xy26数学物理方法§1.5平面标量场（见解析函数的物理解释）27数学物理方法§1.6多值函数前面我们讨论的关于函数可导和解析等概念都是对于单值函数而言，但对于多值函数，复平面上一点的函数值可能不止一个，此时函数值不能唯一确定，因而导数就无从谈起。为使函数值唯一确定，我们的办法是扩大自变量的定义域。多值函数的概念及其应用在复变函数中占有重要地位。本节介绍根式函数，以阐述多值函数的概念。28数学物理方法1多值函数与枝点我们以为例来讨论。令z=ei，。对于02，则在复平面z上，(,)和(,+2)是同一个点。而在复平面ω上，当则0时，有：是两个不相等的值。z=0（=0）点是一特殊点，在这一点，多值函数只有一个值。这样的点称为多值函数的枝点（还有另一个枝点，）。z22212iieezz29数学物理方法另外，在复平面z上，绕原点和不绕原点转一圈，角变化不一样。绕原点转一圈角增加了2，而不绕原点转一圈，角不变。一般地，对于多值函数ω=f(z)，若有这样的点z=z0，在它的邻域内当z的辐角改变2（即z绕z0一周）时，ω的值并不还原，则z0点称为该函数的枝点。30数学物理方法若z绕枝点n周回到原处，而多值函数也刚好回到原值，则我们称该枝点为n–1阶枝点。显然，z=0点是多值函数的一阶枝点，因z转两圈后，ω的值才还原。z31数学物理方法例1.8讨论，规定0arg(z-1)2，求出ω(2)，ω(i)，ω(0)，ω(-i)。解：见document1.832数学物理方法2单值分枝上面的例子说明，只要适当规定宗量的辐角变化范围，就可以将多值函数单值化。辐角变化的各个周期，给出多值函数的各个单值分枝。每个单值分枝都是单值函数，整个多值函数就是它的各个单值函数分枝的总和。33数学物理方法例如多值函数有两个单值分枝，分别是ω平面的上半平面和下半平面：0arg(z-a)2给出单值分枝I：0argω，2arg(z-a)4给出单值分枝II：argω2za34数学物理方法将多值函数划分为若干个（甚至无穷个）单值分枝，其实质就是限制z的变化方式。例如上例中，就是限制z不得绕z=a点或无穷远点转圈。这可以用几何法来形象说明。35数学物理方法如图1.3，在z平面上平行于实轴从z=a点向右作一割线，一直延续到点。如果规定割线上岸为arg(z-a)=0，就给出单值分枝I；如果规定割线上岸为arg(z-a)=2，就给出单值分枝II。这两个单值分枝合起来，就得到一个完整的ω平面，即整个多值函数ω。割线的作用就是限制z的变化方式。由于割线连接了多值函数的两个枝点，z=a和z=，因此，z不能绕一个分枝转一圈（但同时绕两个分枝点转一圈还是可以的）。36argω=数学物理方法aa图1.3多值函数的两个单值分枝arg(z-a)=0z平面arg(z-a)=2z平面argω=0ω平面ω平面37数学物理方法3黎曼面图1.3还可用黎曼面来说明，如图1.4。因arg(z-a)的变化范围扩大为0arg(z-a)4，则在这