高一函数的单调性与最值

金尺子教育个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：李素授课时间：2012/07/18姓名年级高一性别课题函数的单调性与最值教学目标1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性；（4）理解函数的最大（小）值及其几何意义。难点重点1.重点：函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，2.难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值。课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________引入:1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x的增大，y的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？（3）函数图象是否具有某种对称性？2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x)=x○1从左至右图象上升还是下降______?○2在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．（2）f(x)=-2x+1○1从左至右图象上升还是下降______?○2在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．（3）f(x)=x2○1在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．○2在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1金尺子教育二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．4、判定函数单调性的常见方法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。直接判定函数的单调性，可用到以下结论：（3.1）函数)()(xfyxfy与函数的单调性相反（3.2）函数)(xy恒为正或恒为负时，函数)()(1xfyxfy与的单调性相反。（3.3）在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等提醒：书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。金尺子教育（二）典型例题例1．根据函数图象说明函数的单调性．例2．根据函数单调性定义证明函数的单调性．(1)y=-x+1(2)y=|x|巩固练习：证明函数xxy1在（1，+∞）上为增函数。例3．作出函数y=－x2+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间．思考：画出反比例函数xy1的图象．○1这个函数的定义域是什么？○2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1金尺子教育归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论（三）函数的最大（小）值画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；○2指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）32)(xxf（2）32)(xxf]2,1[x（3.1）函数最大（小）值定义1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（MaximumValue）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（MinimumValue）的定义．注意：○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2利用图象求函数的最大（小）值○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；金尺子教育（3.2）典型例题例1．利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．(1)12)(2xxxf(2)12)(2xxxf]2,2[x说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2．（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率（%）16055140651207510085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x元时，住房率为)%102055(x，于是得y=150·)160(x·)%102055(x．由于)%102055(x≤1，可知0≤x≤90．因此问题转化为：当0≤x≤90时，求y的最大值的问题．25金尺子教育将y的两边同除以一个常数0.75，得y1=－x2＋50x＋17600．由于二次函数y1在x=25时取得最大值，可知y也在x=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3．）求函数12xy在区间[2，6]上的最大值和最小值．(注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．)三、课堂练习1、y=|3x|-x求该函数的单调性2、提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45km/h和15km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？3、函数2xy的单调增区间为（）A、]0,(B、),0[C、),0(D、),(4、若2121),()()(xxxfxfRxf与则上的增函数，且是的大小关系是ABCD金尺子教育5、设函数)()1(),()(2afafxf与上的减函数，则是的大小是6、函数xxy22在[1，2]上的最大值为（）A、1B、2C、-1D、不存在7、设)(,)(2xfqpxxxf若的最小值为0，则q为8、证明函数），是（23)(xxf上的增函数。9、证明函数)1,0(1)(在xxxf上为减函数。10、作出函数9696)(22xxxxxf的图象，并指出函数)(xf的单调区间。11、已知函数]4,(2)1(2)(2在区间xaxxf上是减函数，求实数a的取值范围。12、（易错题）已知)(xf是定义在[-1，1]上的增函数，且xxfxf，求)1()2(的取值范围。金尺子教育13、求函数1)(xxxf在区间[2,5]上的最大值与最小值。14、求二次函数76)(2xxxf在区间[-2，2]上的最大值和最小值。金尺子教育课堂检测测试题(累计不超过40分钟)_______道；成绩_______；教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□课后巩固作业_____题;巩固复习____________________;预习布置_____________________老师的建议：