高一函数练习(9)函数与方程

1高一函数（9）：函数与方程【知识要点】1．一般地，方程函数f(x)=0的实数根又叫做函数f(x)的零点。2．利用函数零点存在判定方法解题时，要注意以下几点：①函数y=f(x)必须在区间［a、b］上连续（不间断的曲线）；（如(1,3)2xyx在区间，35()()022ff＜但无实数根，2x是间断的）②若()()0fafb＜，则函数y=f(x)在区间（a、b）上至少有一个零点，而不能判断零点的确切个数，若函数()yfx在［a、b］单调则只有一个零点。③函数()yfx在（a、b）内有零点，但()()0fafb＜不一定成立（如函数2yx）3．用二分法求方程f(x)=0或g(x)=h(x)近似解的基本步骤是：（1）寻找解所在区间，即确定初始区间0000(,),()()0abfafb使＜。方法之一有图象法。（2）不断二分解所在区间，方法是不断取符合条件的区间中点，确定下一个根所在的区间；（3）重复上面的过程，当nnba＜精确度时就可取2nnba作为方程的近似解。21、已知2562x且21log2x，求函数2log2log)(22xxxf的最大值和最小值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：由2256x得8x，2log3x即21log32x222231()(log1)(log2)(log)24fxxxx新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆当23log,2xmin1()4fx，当2log3,xmax()2fx2、下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是C解析:首先排除D,因为f(x)图象不连续,再次排除A､B,因为A､B不符合f(a)·f(b)0.3、方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是2315a解析:设f(x)=x2+ax-2,∵f(0)=-20,∴由x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,只需f(1)≤0且f(5)≥04、对于任意的实数x，不等式（a2-3a+2）x2+(a-1)x+20恒成立，则实数a的取值范围为___________________。5、已知关于x的方程(k-2)x2-(3k+6)x+6k=0有两个负数根，则k的取值范围是__________6、设函数2,0(),(4)0,(2)2,2,0xbxcxfxffx若()xfxx则关于的方程的解的个数为__2个___数形结合7、方程2210xx的解可视为函数2yx的图像与函数1yx的图像交点的横坐3标，若方程440xax的各个实根12,(4)kxxxk所对应的点4(,)(1,2,)iixikx均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围为______________3100xxax视为31yxayx与交点的横坐标，yx与1yx交点为(2,2),(2,2)，因为点4(,)(1,2,)iixikx均在直线yx的同侧，所以2x时，3(2)26aa，2x时，3226aa8、(2010·浙江)已知x0是函数f(x)=2x+11x的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则正确的是BA.f(x1)0,f(x2)0B.f(x1)0,f(x2)0C.f(x1)0,f(x2)0D.f(x1)0,f(x2)0解析:由于函数g(x)=1111xx在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有惟一的零点x0,且在(1,x0)上f(x)0,在(x0,+∞)上f(x)0,故选B.9、若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式a·f(-2x)0的解集是_{x|-x1}__解析:由于f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,即方程x2+ax+b=0的两个根是-2和3,因此231236aabb,因此f(x)=x2-x-6,所以不等式a·f(-2x)0即-(4x2+2x-6)0,即2x2+x-30,解集为{x|-x1}.10、方程xlg(x+2)=1有____2____个不同的实数根.解析:由题意知x≠0,∵xlg(x+2)=1,∴lg(x+2)=1x,画出y=lg(x+2),y=1x的图象(图略),两个函数图象的交点个数即为方程根的个数,由图象知在第一象限和第三象限各有一个交点,故方程有2个不等实数根.11、已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为___2_____.4解析:由于f(x)=|x|+|2-x|=22,0,2,02,22,2.xxxxx≤≥所以f(x)的最小值等于2,要使f(x)-a=0有解,应使a≥2,即a的最小值为2.12、求证：方程(1)(2)(3)1xxx在区间(1,0)上有解。设()(1)(2)(3)1fxxxx(1)10,(0)50ff方程(1)(2)(3)1xxx在区间(1,0)上有解，可以验证在（1，2）、（3，4）上也有根。13、求实系数方程ax2+bx+c=0(a0)一根大于1，另一根小于1的等价条件，并给出证明。0(0)0af14、求方程220.1)xx的近似解（精确到（0.5x）15、已知a是实数，函数2()223fxaxxa,如果函数()yfx在区间［－1,1］上有零点，求a的取值范围。解：当a=0时，函数为f(x)=2x-3，其零点x=23不在区间[-1，1]上．当a≠0时，函数f(x)在区间[-1，1]分为两种情况：①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时0)3)(5()1()1(0)3(84aaffaa5或12110)3(84aaa解得1≤a≤5或a=273②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时或解得a5或a＜273综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为(-∞,273]∪[1,+∞).16、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若abc且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;(2)若对x1、x2∈R且x1x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根证明必有一实根属于(x1,x2).证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.又∵abc,∴a0,c0,即ac0.又∵Δ=b2-4ac≥-4ac0,∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,即函数f(x)有两个零点.(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],则g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]12()()2fxfx6g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]21()()2fxfx122211212()()()()122gxg4x?fffxfxxfxxfx∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)•g(x2)0.∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.评析:可将方程根的问题转化成函数零点的问题,借助函数的图象和性质进行解答.17、m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;解:(1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点⇔方程f(x)=0有两个相等实根⇔Δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0∴m=4或m=-1.②解法一:由题意,知0,2340,1,1,(1)012340.mmmmfmm∴-5m-1.∴m的取值范围为(-5,-1).解法二:设f(x)的两个零点分别为x1,x2.则x1+x2=-2m,x1•x2=3m+4.由题意,知21212234041,4m43m40x1x10x1x102201,342105,mmmmmmmmm或∴-5m-1.故m的取值范围为(-5,-1).18、若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.解：令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.作出g(x)、h(x)的图象.7由图象可知,当0-a4,即-4a0时,g(x)与h(x)的图象有4个交点,即f(x)有4个零点.故a的取值范围为(-4,0).