长沙市一中2011届高三月考试卷(五)

长沙市一中2011届高三月考试卷(五)数学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿命题人：蒋楚辉审题人：胡雪文时量：120分钟满分：150分(考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{－2,0,1}，集合B＝{x||x|a且x∈Z}，则满足AB的实数a可以取的一个值是()A.3B.2C.1D.02.若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|的值为()A.1B.16C.81D.413.如图，设D是图中边长分别为2和4的矩形区域，E是D内位于函数y＝x2图象下方的区域(阴影部分)，向D内随机抛掷30个点，则落在E内的点的个数约为()A.15B.20C.5D.104.已知命题p：“a＝1是x0，x＋ax≥2的充分必要条件”，命题q：“x0∈R，x20＋x0－20”，则下列命题正确的是()A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧(┐q)”是真命题C.命题“(┐p)∧q”是真命题D.命题“(┐p)∧(┐q)”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为()A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f(x)＝2a(x≥2)则f(log45)等于(B)f(x+2)(x2)，A.25B.45C.35D.5x-y+2≥07.已知实数x，y满足线性约束条件x+y-4≥0，目标函数z＝y－ax(a∈R)，若z取最大2x-y-5≤0[来源:学科网ZXXK]值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.(－1,0)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为()A.16B.320C.11120D.215二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是.10.函数f(x)＝exlnx－1的零点个数是个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是.12.数列{an}满足：a1＝2，an＝1－1an－1(n＝2,3,4，…)，则a12＝.13.已知函数f(x)＝|x－2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，则实数x的取值范围是.14.在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则MA＋MB＋MC＝0”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.如果aMA＋bMB＋33cMC＝0，则内角A的大小为；若a＝3，则△ABC的面积为.15.给定集合A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N，n≥3)，定义ai＋aj(1≤ij≤n，i，j∈N)中所有不同值的个数为集合A两元素和的容量，用L(A)表示，若A＝{2,4,6,8}，则L(A)＝；若数列{an}是等差数列，设集合A＝{a1，a2，a3，…，am}(其中m∈N*，m为常数)，则L(A)关于m的表达式为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinωx·cos(ωx＋π6)＋12(ω0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bcosA＝acosC＋ccosA，求f(A)的值.[来源:Z。xx。k.Com][来源:学|科|网]18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)是否存在k∈N*，使得bk－ak∈(0,1)？请说明理由.19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.20.(本小题满分13分)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{an}满足：a1＝f(1)＋1，f(12an＋1－12an)＋f(12an＋1＋12an)＝0.设Sn＝a21a22＋a22a23＋a23a24＋…＋a2n－1a2n＋a2na2n＋1.(1)求数列{an}的通项公式，并求Sn关于n的表达式；(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{bn}满足：b2n＝g(12n)，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小.21.(本小题满分13分)定义F(x，y)＝(1＋x)y，其中x，y∈(0，＋∞).(1)令函数f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))，其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x0(－4x0－1)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；(2)令函数g(x)＝F(1，log2[(lnx－1)ex＋x])，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x，y∈N，且xy时，求证：F(x，y)F(y，x).数学(理科)答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{－2,0,1}，集合B＝{x||x|a且x∈Z}，则满足AB的实数a可以取的一个值是(A)A.3B.2C.1D.02.若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|的值为(C)A.1B.16C.81D.413.如图，设D是图中边长分别为2和4的矩形区域，E是D内位于函数y＝x2图象下方的区域(阴影部分)，向D内随机抛掷30个点，则落在E内的点的个数约为(D)A.15B.20C.5D.104.已知命题p：“a＝1是x0，x＋ax≥2的充分必要条件”，命题q：“x0∈R，x20＋x0－20”，则下列命题正确的是(C)A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧(┐q)”是真命题C.命题“(┐p)∧q”是真命题D.命题“(┐p)∧(┐q)”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为(B)A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f(x)＝2a(x≥2)则f(log45)等于(B)f(x+2)(x2)，A.25B.45C.35D.5解：∵1log452，∴f(log45)＝f(log45＋2)＝f(log480)＝2log480＝45.x-y+2≥07.已知实数x，y满足线性约束条件x+y-4≥0，目标函数z＝y－ax(a∈R)，若z取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是(C)A.(0,1)B.(－1,0)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)解：约束条件对应的平面区域如下图，而直线x＋y－4＝0与x－y＋2＝0交于点A(1,3)，此时取最大值，故a1.8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为(D)A.16B.320C.11120D.215解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为A22A33＝12个.当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数.当千位是3，十位是5时，末位只能是4.此时共有2个波浪数.故所求概率P＝12＋2＋2A55＝215.选择题答题卡题号12345678答案ACDCBBCD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是f(x)＝x12.10.函数f(x)＝exlnx－1的零点个数是1个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是(28,57].解：当输出k＝2时，应满足2x+1≤115，解得28x≤57.2(2x+1)+111512.数列{an}满足：a1＝2，an＝1－1an－1(n＝2,3,4，…)，则a12＝－1.解：由已知a1＝2，a2＝1－1a1＝12，a3＝1－1a2＝－1，a4＝1－1a3＝2，可知{an}是周期为3的周期数列，则a12＝a3×4＝a3＝－1.13.已知函数f(x)＝|x－2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，则实数x的取值范围是[0,4].解：|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)及a≠0得f(x)≤|a＋b|＋|a－b||a|恒成立，而|a＋b|＋|a－b||a|≥|a＋b＋a－b||a|＝2，则f(x)≤2，从而|x－2|≤2，解得0≤x≤4.14.在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则MA＋MB＋MC＝0”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.如果aMA＋bMB＋33cMC＝0，则内角A的大小为π6；若a＝3，则△ABC的面积为934.解：由aMA＋bMB＋33cMC＝aMA＋bMB＋33c(－MA－MB)＝(a－33c)MA＋(b－33c)MB＝0.又MA与MB不共线，则a＝33c＝b，由余弦定理可求得cosA＝32，故A＝π6.[来源:学.科.网Z.X.X.K]又S△＝12bcsinA＝12×3×33×12＝934.15.给定集合A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N，n≥3)，定义ai＋aj(1≤ij≤n，i，j∈N)中所有不同值的个数为集合A两元素和的容量，用L(A)表示，若A＝{2,4,6,8}，则L(A)＝5；若数列{an}是等差数列，设集合A＝{a1，a2，a3，…，am}(其中m∈N*，m为常数)，则L(A)关于m的表达式为2m－3.解：①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L(A)＝5.②不妨设数列{an}是递增等差数列可知a1a2a3…am，则a1＋a2a1＋a3…a1＋ama2＋am…am－1＋am，故ai＋aj(1≤ij≤m)中至少有2m－3个不同的数.又据等差数列的性质：当i＋j≤m时，ai＋aj＝a1＋ai＋j－1；当i＋jm时，ai＋aj＝ai＋j－m＋am，因此每个和ai＋aj(1≤ij≤m)等于a1＋ak(2≤k≤m)中一个，或者等于al＋am(2