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年浙江省杭州市塘栖中学高考数学模拟练习试卷（15）（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）（2009•湖北）已知P={|=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={|=（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（）A．{（1，1）}B．{（﹣1，1）}C．{（1，0）}D．{（0，1）}考点：交集及其运算．菁优网版权所有难度星级：五星专题：计算题．分析：先根据向量的线性运算化简集合P，Q，求集合的交集就是寻找这两个集合的公共元素，通过列方程组解得．解答：解：由已知可求得P={（1，m）}，Q={（1﹣n，1+n）}，再由交集的含义，有⇒，所以选A．点评：本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）（2011•山东）对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：奇偶函数图象的对称性；充要条件．菁优网版权所有难度星级：五星专题：综合题．分析：通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用奇函数的定义，后面的命题能推出前面的命题；利用充要条件的定义得到结论．解答：解：例如f（x）=x2﹣4满足|f（x）|的图象关于y轴对称，但f（x）不是奇函数，所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”推不出“y=f（x）是奇函数”当“y=f（x）是奇函数”⇒f（﹣x）=﹣f（x）⇒|f（﹣x）|=|f（x）|⇒y=|f（x）|为偶函数⇒，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的必要而不充分条件故选B点评：本题考查奇函数的定义、判断一个命题是另一个命题的条件问题常用判断是否相互推出，利用条件的定义得到结论．．（5分）sin2α=，，则cos（﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦．菁优网版权所有难度星级：五星专题：计算题．分析：表示出（sinα+cosα）2，利用完全平方公式展开后，利用二倍角的正弦函数公式化简sin2α后，再根据同角三角函数间的基本关系sin2α+cos2α=1，代入展开的式子中，求出（sinα+cosα）2的值，根据α的范围，开方可求出sinα+cosα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，得到结果为sinα+cosα，即可求出所求式子的值．解答：解：∵sin2α=2sinαcosα=，且sin2α+cos2α=1，∴（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+=，又，∴sinα+cosα＞0，∴sinα+cosα=，则cos（﹣α）=（cosα+sinα）=sinα+cosα=．故选C点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．同时注意角度的范围．4．（5分）（2004•湖南）若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（0，1]C．（0，1]D．（0，1）考点：函数单调性的性质．菁优网版权所有难度星级：五星专题：压轴题．分析：f（x）为二次函数，单调性结合图象解决，而g（x）为指数型函数，单调性只需看底数与1的大小即可．解答：解：f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数，故对称轴x=a≤1；g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上是减函数，只需a+1＞1，即a＞0，综上可得0＜a≤1．故选C点评：本题考查已知函数单调性求参数范围，属基本题．掌握好基本函数的单调性是解决本题的关键．5．（5分）（2011•三亚模拟）在等比数列{an}中，a1+an=34，a2•an﹣1=64，且前n项和Sn=62，则项数n等于（）A．4B．5C．6D．7考点：等比数列的性质．菁优网版权所有难度星级：五星专题：计算题．分析：根据等比数列的性质得到a2•an﹣1=a1•an=64，与已知的a1+an=34联立，即可求出a1与an的值，然后利用等比数列的前n项和公式表示出Sn，把求出的a1与an的值代入即可求出公比q的值，根据an的值，利用等比数列的通项公式即可求出项数n的值．解答：解：因为数列{an}为等比数列，则a2•an﹣1=a1•an=64①，又a1+an=34②，联立①②，解得：a1=2，an=32或a1=32，an=2，当a1=2，an=32时，sn====62，解得q=2，所以an=2×2n﹣1=32，此时n=5；同理可得a1=32，an=2，也有n=5．则项数n等于5故选B点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．6．（5分）（2012•岳阳二模）连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量与向量的夹角记为α，则α的概率为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率．菁优网版权所有难度星级：二星专题：计算题．分析：根据题意，由分步计数原理分析可得向量的情况数目；进而根据向量的数量积公式可得cosα=，由余弦函数的性质可得若α，则＜，对其变形化简可得m＞n，由列举法可得其情况数目，由等可能事件的概率公式计算可得答案．解答：解：根据题意，m、n的情况各有6种，则的情况有6×6=36种，又由题意，向量，向量，则cosα=，若α，则＜，化简可得m2＞n2，即m＞n，则的坐标可以为：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共有15种情况；则α的概率为=，故选B．点评：本题考查等可能事件的概率的计算，涉及向量数量积的运算与性质，关键是由数量积的运算性质可得m、n的关系．7．（5分）（2014•东昌区二模）已知bxn+1=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n对任意x∈R恒成立，且a1=9，a2=36，则b=（）A．1B．2C．3D．4考点：二项式定理的应用．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据bxn+1=b[1+（x﹣1）]n+1，根据它的展开式形式，由题意可得b=9，b=36，由此求出b的值．解答：解：∵bxn+1=b[1+（x﹣1）]n+1=，且a1=9，a2=36，∴b=9，b=36，解得b=1，n=9，故选A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．8．（5分）袋中共有7个大小相同的球，其中3个红球、2个白球、2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至少有2个红球的概率是（）A．B．C．D．考点：互斥事件的概率加法公式．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：求出取3个球中正好有2个红球的概率，再求出取3个球中正好有3个红球的概率，相加即得所求．解答：解：取3个球中正好有2个红球的概率是=，取3个球中正好有3个红球的概率是=，故所取3个球中至少有2个红球的概率是+=，故选B．点评：本题主要考查互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题．9．（5分）在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，已知点P是△ABC内一点，则的最小值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1考点：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：计算题；平面向量及应用．分析：分别以CB，CA所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，然后利用向量的数量积的坐标表示求解，根据两点间的距离公式即可求解解答：解：分别以CB，CA所在的直线为x，y轴建立直角坐标系∵AC=BC=2∴A（0，2），C（0，0），B（2，0）设P（x，y），则），∴∴=﹣x（2﹣2x）﹣y（2﹣2y）=﹣2x+2x2﹣2y+2y2=即为△ABC内一点到点（）距离平方，当其最小时向量最小，因为点（）也在△ABC内，所以最小为0，所以向量的最小值为﹣1故选B点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示的应用，解题的关键是根据所求式子几何意义．10．（5分）设集合A={0，1，2，3，4，5，6，7}，如果方程x2﹣mx﹣n=0（m，n∈A）至少有一个根x0∈A，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（）A．15B．16C．17D．18考点：函数的零点与方程根的关系；排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：让m分别取0，1，2，3，4，5，6，7，求出对应的n值，则不同的（m，n）的个数即为所求．解答：解：若方程为合格方程时，当m=0时，n=0，1，4；当m=1时，n=0，2，6；当m=2时，n=0，3；当m=3时，n=0，4；当m=4时，n=0，5；当m=5时，n=0，6；当m=6时，n=0，7；当m=7时，n=0．故合格方程的个数为17个，故选C．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，排列、组合以及简单的计数原理，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁UP={y|y=0或y≥}．考点：对数函数的值域与最值；补集及其运算．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先由对数函数的单调性求解集合U，然后结合反比例函数的性质可求P，即可求解解答：解：∵y=log2x＞log21=0，即U=（0，+∞）当x＞2时，0＜＜，即P=（0，）则CUP={y|y=0或y≥}故答案为{y|y=0或y≥}点评：本题主要考查了对数函数、反比例函数的值域的求解，及集合的补集的求解，属于基础试题12．（4分）已知，那么cos2x=．考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用．菁优网版权所有专题：三角函数的求值．分析：将已知等式左边的角度外边的2利用乘法分配律乘到括号里边，然后利用诱导公式化简求出cosx的值，再将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cosx的值代入计算，即可求出值．解答：解：∵sin2（+）=sin（+x）=cosx=，∴cos2x=2cos2x﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．13．（4分）（2010•上海）以集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅、U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共有36种不同的选法．考点：计数原理的应用．菁优网版权所有难度星级：一星专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：由题意知，子集A和B可以互换，即视为一种选法，从而对子集A分类讨论当A是单元集或是四元集，当A是二元集，B相应的只有两种，当A是三元集，B相应的有6种结果，根据计数原理得到结论．解答：解：因为U，Φ都要选出而所有任意两个子集的组合必须有包含关系故各个子集所包含的元素个数必须依次递增而又必须包含空集和全集所以需要选择的子集有两个有（a）（b）（c）（d）四种选法（1）第三个子集元素个数为2当第二个子集为（a）时第三个子集的2个元素中必须包