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用什么度量？找射影、二足相连平移、妙选顶点备注范围α-ι-β（面-线-面）线a与α平面所成角异面直线a、b所成角表示从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。斜线与它在平面内的射影所在的锐角在空间任取一点o，分别作a，b的平行线，从而形成的的锐（角）叫作异面直线所成角。定义图示二面角直线与平面所成异面直线所成角典例分析例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别是棱A1B1和BB1的中点，求直线AM和CN所成角途径一过D1作D1E//AM，作D1F//CN，连接EF，显然为异面直线AM与CN所成角。通过解△D1EF即可。途径二过D作D1E//AM，再过N作NG//D1E，显然为异面直线AM与CN所成角。通过解△ＮＧＣ即可。•方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。例2.如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足.（1）求证：A1P⊥平面AQD；（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值•解析：过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，•易知面ADQR即为面AQD由（1）知A1P⊥面AQD，•设A1P交AR与S，连接SQ即可。由以上的作法可知•即为所求角，只需解三角形SPQ即可。•方法提炼2.求直线和平面所成角要领“找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。•••••MN•例3.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。•解析1.定义法过D作DE⊥PC于E，过E作EF⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可。解析2.垂面法易证面PAB⊥面PBC，过A作AM⊥BP于M，显然AM⊥面PBC，从而有AM⊥PC，同法可得AN⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；再利用三面角公式可解。解析3.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。易证面PEDA⊥PDC，过E作EF⊥PD于F，显然PF⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG⊥PC于G，连接GF，由三垂线得GF⊥PC即∠EGF为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可解析4.射影面积法由解析3的分析过程知，△PFC为△PEC在面PDC上的射影，由射影面积公式得，余下的问题比较容易解决！解析5.在面PDC内，分别过D、B作DE⊥PC于E，BF⊥PC于F，连接EF即可。利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出q即可。A．定义法（点在棱上）B.三垂线定理（点在面内）C.垂面法（点在空间内）方法提炼3.求二面角的方法比较多，常见的有：（1）定义法在棱上的点分别作棱的垂线，如解析１（2）三垂线求解在棱上的点分别作棱的垂线，如解析２（3）垂面法在棱上的点分别作棱的垂线，如解析３（4）射影面积法利用射影面积与斜面的关系求解如图所示，射影DDBC、斜面△ABC与两面所成的二面角q之间有：（5）空间余弦定理运用公式如图六.针对训练针对训练1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1、C1B1的中点。求EF与AD所成角的大小为__________，B1C与ABD1平面所成角为______________。针对训练2.已知二面角a－l－b，A为面a内一点，A到b的距离为2，到l的距离为4。求二面角a－l－b的大小。针对训练3.如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=√2,求二面角P-AB-C的正切值针对训练4.如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。针对训练五.在直角坐标系xOy中，设A（-2，3），B（3，-2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时则θ的度数•七.专题总结•本专题主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的定义、求法，可总结为：•线线角，用平移，妙选顶点，•线面角，作射影，二足相连。•二面角，求法多，空间余弦，•用定义，三垂线，射影垂面。•熟化归，解三角，算准结果，•作证求，三环节，环环相扣。八.课外作业1.如图，正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°，∠CBD=30°.（2003年南京市高三第三次质量检测卷数学-18）（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求二面角D—AB—C的大小；（Ⅲ）求异面直线AC和BD所成的角.2.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点，（Ⅰ）求证平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的正弦值.（Ⅲ）求二面角B—AC—G的大小3如图，四棱锥P—ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直，且ABCD为菱形.（1）求证：PA⊥CD；（2）求异面直线PB和AD所成角的余弦值；（3）求二面角P—AD—C的正切值.