运动的守恒量和守恒定律.

第二章运动的守恒量和守恒定律§2-1质点系的内力和外力质心质心运动定理§2-2动量定理动量守恒定律§2-3功能量动能定理§2-4保守力成对力的功势能§2-5质点系的功能原理机械能守恒定律§2-6碰撞§2-7质点的角动量和角动量守恒定律§2-8对称性和守恒定律§2-1质点系的内力和外力质心质心运动定理一、质点系的内力与外力系统内，内力是成对出现的。质点系内各个质点间的相互作用。内力（internalforce）外力（externalforce）质点系外物体对系统内质点所施加的力。返回退出§2-1质点系的内力和外力质心质心运动定理二、质心质心（centerofmass）是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。返回退出对于N个质点组成的质点系：Nimmmm,,,,21Nirrrr,,,,21)(immmrmriic/直角坐标系中的分量式：质心的位矢：mxmxiic/mymyiic/mzmziic/返回退出mmrrc/d对于质量连续分布的物体分量式：面分布体分布线分布lmddSmddVmdd)d(mmmmxxc/dmmyyc/dmmzzc/d质心的位矢：质心与重心（centerofgravity）是两个不同的概念，重心是地球对物体各部分引力的合力(即重力)的作用点，质心与重心的位置不一定重合。返回退出例2-1求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。取宽度为dx的面积元，设薄板每单位面积的质量为，则此面积元的质量为解：xxxymd2d2d0cy取坐标轴如图，根据对称性分析可知：axxxxmmxxaac32d2d2dd2/02/02返回退出三、质心运动定理由质心位矢公式：质心的速度为：质心的加速度为：tvaccddiiimtvmddiiimamtrvccddiiimtrmddiiimvm返回退出由牛顿第二定律得nfffFam11312111nfffFam22322222nnnnnnnfffFam32对于系统内成对的内力iiiFam,0,,02112niinffffiiicmamaciamF返回退出质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和。质心运动定理：ciamF返回退出§2-2动量定理动量守恒定律一、动量定理由牛顿运动定律：表示力对时间的累积量，叫做冲量（impulseofforce)。2121ddppttptF12pp21dtttFI其中，返回退出质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。说明(1)冲量的方向是所有元冲量的合矢量的方向。动量定理反映了力在时间上的累积作用对质点产生的效果。ItFd返回退出逆风行舟的分析：动量定理（theoremofmomentum）：12ppI(2)动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。或以分量形式进行计算：(3)在冲击、碰撞问题中估算平均冲力（implusiveforce）。(4)动量定理是牛顿第二定律的积分形式，只适用于惯性系。F(t)Ft(5)动量定理在处理变质量问题时很方便。返回退出研究锤对工件的作用过程，在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。例2-2质量m=0.3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1)=0.1s，(2)=0.01s。试求锤对工件的平均冲力。以重锤为研究对象，分析受力，作受力图。解：解法一：)(0)(0mvmgFNghm2/2ghmmgFN)N(1092.1s,1.0)1(5NF)N(109.1s,01.0)2(6NFmgFN返回退出解法二：研究锤从自由下落到静止的整个过程，其动量变化为零。0)/2(ghmgFN重力作用时间为gh/2支持力的作用时间为由动量定理：/2ghmmgFN返回退出例2-3一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及m'的物体A和B，m'大于m。B静止在地面上，当A自由下落距离h后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度，以及能上升的最大高度。作绳拉紧时的受力图。绳子刚好拉紧前的瞬间，物体A的速度为：ghv2解：经过短暂的冲击过程，两物体速率相等，对两物体分别应用动量定理（取向上为正）：)()(1mvvmtmgT0)(2vmtgmT返回退出考虑到绳不可伸长，有：平均冲力T1、T2重力，因而忽略重力。21TTmmmvvmmghm2绳子拉紧后，A、B系统的加速度为：即为绳子刚被拉紧时两物体的速度。gmmmma速度为零时，物体B达到最大高度H：022vaH222mmhmH)()(1mvvmtmgT0)(2vmtgmT返回退出*二、变质量物体的运动方程设t时刻，某物体质量为m，速度为(c)，另有一质元dm，速度为。vut+dt时刻合并后的共同速度为。vvd把物体与质元作为系统，由动量定理umvmvvmmd)d)(d(tdF略去二阶小量，Fuvtmmtdd)(dd变质量物体运动方程注意：dm可正可负，当dm取负时，表明物体质量减小。返回退出例2-4：质量为m的匀质链条，全长为L，手持其上端，使下端离地面的高度为h。然后放手让它自由下落到地上。求链条落到地上的长度为l时，地面所受链条作用力的大小。解：用变质量物体运动方程求解。落在地面上链段ml速度为零，作用在未落地部分(m-ml)上的外力有重力和地面给它的冲力。取向下为正：Fgmmvmmtll)(])[(ddFgmmtvmmmmtvlll)(dd)()(dd即返回退出Fgmmtvmmmmtvlll)(dd)()(dd自由下落：gtvddFmmtvl)(ddmLlml)(2ddhlgtlvgLhlmvLmF)(22地面所受链条作用力为：ghlLmmgLlFF)23(（已落地部分链条的重力）返回退出mvmviic=常矢量iiimvPcvm=常矢量根据质心运动定律：若0iF三、动量守恒定律即如果系统所受的外力之和为零，则系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律（lawofconservationofmomentum）。ciamF则0ca返回退出(2)当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击过程等）(1)动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个质点的动量可以变化,通过内力进行传递和交换。说明(3)分量式(4)定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。返回退出*四、火箭飞行设t时刻，火箭质量为m，速度为v(向上)，在dt内，喷出气体dm(0)，喷气相对火箭的速度(称喷气速度)为u(向下)，使火箭的速度增加了dv。若不计重力和其他外力，由动量守恒定律可得：mmuvdd))(d()d)(d(uvmvvmmmv略去二阶小量，返回退出设u是一常量，2121ddmmvvmmuv2112lnmmuvvmmuvddmmummuvmm0lnd0设火箭开始飞行的速度为零，质量为m0，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为m，此时火箭能达到的速度是：火箭的质量比返回退出多级火箭：iininNuvln1iu第i级火箭喷气速率iN第i级火箭质量比最终速度：返回退出例2-5如图所示,设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。解：选取炮车和炮弹组成系统内、外力分析。炮车与地面间的摩擦力不计，系统水平方向动量守恒。返回退出cosvMmmV得炮车的反冲速度为：0cosVvmMV思考：竖直方向动量守恒吗？系统水平方向动量守恒：返回退出炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。例2-6一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。0332211vmvmvm解：221133vmvmvm222211233)()()(vmvmvm返回退出m/s)(2.21303021212222213vvv180,45,1tan12vv135即和及都成，且三者都在同一平面内1353v1v2vmmmmm2,321222211233)()()(vmvmvm返回退出例2-7质量为m1和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在何处相遇？把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向动量守恒。任取两个小孩连线上一点为原点，向右为x轴为正向。解：设开始时小孩的坐标分别为x10、x20，在任意时刻的速度分别v1为v2，坐标为x1和x2。ttvxx01101dttvxx02202d由运动学关系：返回退出tttvxtvx02200110ddttvxx01101dttvxx02202d相遇时：x1=x2tttvmmmtvmmxx0122101212010dd)1(由动量守恒：02211vmvm2110220201dmmxmxmtvt（1）代入式（1）得返回退出2110120221102202101mmxmxmmmxmxmxx结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出。cxxx21相遇时有：返回退出一、功的概念物体在力的作用下发生一无限小的位移(元位移)时，此力对它做的功（work）定义为：FrdrFAdcosd可以写成两个矢量的标积（scalarproduct）：rFAdd功是标量，没有方向，但有正负。单位：Nm=焦耳(J)功率（power）：tAPddtrFddvF单位：J/s（W）返回退出§2-3功能量动能定理（为力与位移的夹角）能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种运动形式的相互转化可以用能量来量度。各种运动形式的相互转化遵循能量的转换和守恒定律。与机械运动直接相关的能量是机械能，它是物体机械运动状态（即位置和速度）的单值函数，包括动能和势能。二、能量能量是物体状态的单值函数。物体状态发生变化，它的能量也随之变化。返回退出三、动能定理设质点在变力的作用下沿曲线从a点移动到b点，F变力所做的功为：由牛顿第二定律：返回退出2k21mvE定义质点的动能（kineticenergy）：则有：kkkEEEAabab动能定理（theoremofkineticenergy）：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。3.功是一个过程量，而动能是一个状态量。1.与参考系有关，动能定理只在惯性系中成立。2.4.微分形式：返回退出例2-8装有货物的木箱，重G=980N，要把它运上汽车。现将长l=3m的木板搁在汽车后部，构成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30°角，木箱与斜面间的滑动摩擦系数=0.20，绳的拉力与斜面成10°角，大小为700N。求：（1）木箱所受各力所作的功；（2）合外力对木箱所作的功；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功？返回退出木箱所受的力分析如图。拉力F所做的功(J)1007.2985.0370010cos31FlA重力所做的功(J)104