运筹学II习题解答

第七章决策论1.某厂有一新产品，其面临的市场状况有三种情况，可供其选择的营销策略也是三种，每一钟策略在每一种状态下的损益值如下表所示，要求分别用非确定型决策的五种方法进行决策(使用折衷法时α＝0.6)。营销策略市场状况Q1Q2Q3S1S2S3503010102510－5010【解】（1）悲观法：根据“小中取大”原则，应选取的经营策略为s3；（2）乐观法：根据“大中取大”原则，应选取的经营策略为s1；（3）折中法（α=0.6）：计算折中收益值如下：S1折中收益值=0.650+0.4(-5)=28S2折中收益值=0.630+0.40=18S3折中收益值=0.610+0.410=10显然，应选取经营策略s1为决策方案。（4）平均法：计算平均收益如下：S1:x_1=（50+10-5）/3=55/3S2:x_2=(30+25)/3=55/3S3:x_3=(10+10)/3=10故选择策略s1,s2为决策方案。（5）最小遗憾法：分三步第一，定各种自然状态下的最大收益值，如方括号中所示；第二，确定每一方案在不同状态下的最小遗憾值，并找出每一方案的最大遗憾值如圆括号中所示；第三，大中取小，进行决策。故选取S1作为决策方案。2．如上题中三种状态的概率分别为:0.3,0.4,0.3,试用期望值方法和决策树方法决策。（1）用期望值方法决策：计算各经营策略下的期望收益值如下：故选取决策S2时目标收益最大。（2）用决策树方法，画决策树如下：3.某石油公司拟在某地钻井，可能的结果有三：无油(θ1)，贫油（θ2）和富油（θ3），估计可能的概率为：P(θ1)=0.5,P(θ2)=0.3，P(θ3)=0.2。已知钻井费为7万元，若贫油可收入12万元，若富油可收入27万元。为了科学决策拟先进行勘探，勘探的可能结果是：地质构造差(I1)、构造一般(I2)和构造好(I3)。根据过去的经验，地质构造与出油量间的关系如下表所示：P(Ij|θi)构造差(I1)构造一般(I2)构造好(I3)无油(θ1)0.60.30.1贫油(θ2)0.30.40.3富油(θ3)0.10.40.5假定勘探费用为1万元,试确定：(1)是否值得先勘探再钻井?(2)根据勘探结果是否值得钻井？【解】第一步第二步，画出决策树如下：第三步，计算后验概率首先，知，各种地质构造的可能概率是：再由得到，每一种构造条件下每一状态发生的概率：构造差（I1）构造一般（I2）构造好（I3）0.73170.42860.20830.21950.34290.37500.04880.22860.4167合计1.01.01.0根据决策表，若勘探得到结果为“构造差”，则有：E(s1)=-70.7313+50.2195+200.0488=-3.0484若勘探得到结果为“构造一般”，则有：E(s2)=-70.4286+50.3429+200.2286=3.2863若勘探得到结果为“构造好”，则有：E(s3)=-7*0.2083+5*0.3750+20*0.4167=8.7509E(勘探)=ni1E(si)P(Ii)=-3.04840.41+3.28630.35+8.75090.24=2.0006已知，勘探成本为1万元，所以值得先勘探后钻井；同时，由于不钻井的期望收益为0，勘探后的结果为值得钻井。4.某企业拟从3名干部中选拔一人担任总经理助理，选拔的标准包括健康状况、业务知识、写作能力、口才、政策水平和工作作风6个方面。这6个方面经过比较后得出的判断矩阵如下：1132221133/1113/13/115/14/14/12/13512/112/1142112/114111A经过对三个对象按每一标准权衡，得到的判断矩阵依次是：试应用AHP方法，对三个候选人ABC排出优先顺序。13/123142/14/111252/1145/14/11113113/13/13117/15/171353/1117/17/171171115/19/1517/1971【解】对于C1矩阵：C1P1P2P3P111/41/2V1=0.5W1=0.1365P2413V2=2.2894W2=0.625P321/31V3=0.8736W3=0.2385V=3.663对于C2矩阵：C2P1P2P3P111/41/5V1=0.3684W1=0.0974P2411/2V2=1.2599W2=0.3331P3521V3=2.1544W3=0.570V=3.7827对于C3矩阵：C3P1P2P3P1131/3V1=1W1=0.3189P21/311V2=0.6934W2=0.2211P3521V3=1.4422W3=0.46V=3.1356对于C4矩阵：C4P1P2P3P111/35V1=1.1856W1=0.279P2317V2=2.7589W2=0.6491P31/51/71V3=0.3057W3=0.0719V=4.2502对于C5矩阵：C5P1P2P3P1117V1=1.9129W1=0.4667P2117V2=1.9129W2=0.4667P31/71/71V3=0.2733W3=0.0667V=4.0991对于C6矩阵：C6P1P2P3P1179V1=3.9791W1=0.772P21/715V2=0.8939W2=0.1734P31/91/51V3=0.2811W3=0.0545V=5.1541对于A矩阵：111411/2V1=1.1225W1=0.1685112411/2V2=1.2599W2=0.189111/21531/2V3=1.2464W3=0.18711/41/41/511/31/3V4=0.334W4=0.0501111/3311V5=1W5=0.1501222311V6=1.6984W6=0.255V=6.6612进行层次总排序：C1C2C3C4C5C6排序结果0.16850.18910.18710.05010.15010.255PA0.13650.09740.31890.2790.46670.7720.3821PB0.6250.33310.22110.64910.46670.17340.3571PC0.23850.570.460.07190.06670.05450.2616最终得出：3名候选人的优先顺序是A﹥B﹥C第八章对策论1．求解下列的矩阵对策，并明确回答它们分别是不是既约矩阵？有没有鞍点？（1）3258414122（2）612443122（3）6132445343221272（4）4532312265833427645608139【解】（1）-212-4第二行优超于第三行148第1列优超于第2列-523不是既约矩阵这个矩阵对策有鞍点为a21=1（2）221第二行优超于第一行344不是既约矩阵，216这个矩阵鞍点为a21=3（3）2721第三行优超于第二行2234第1列优超于第2列3544不是既约矩阵2316该矩阵对策有鞍点为a31=3(4)93180第二行优超于第五行65467第3列优超于第4列24338不是既约矩阵56221该矩阵对策有鞍点为a23=4323542．试证明在矩阵对策：22211211aaaaA中，不存在鞍点的充要条件是有一条对角线的每一元素大于另一条对角线上的每一元素。3．先处理下列矩阵对策中的优超现象，再利用公式法求解：A＝3880667864959379520503043【解】对矩阵A观察可知：34030第三行优超于第二行50259第四行优超于第一行73959故可划去第一行和第二行46876第1，2，4，5列都优超于第3列60883第2列优超于第4，5列故可划去第3，4，5列，得到：7346第一行优超于第三行，可划去第三行607346解之：e=7+6-（4+3）=6p3=d-c/e=1/3p4=a-b/e=2/3q1=d-b/e=1/2q2=a-c/e=1/2VG=ad-bc/e=5所以p*=(0,0,1/3,2/3,0)q*=(1/2,1/2,0,0,0)T4．利用图解法求解下列矩阵对策：（1）A＝2114672（2）A＝2581031【解】（1）假定局中人Ⅱ取混合策略（q，1－q）局中人I随机地取纯策略a1,a2,a3于是根据公式E(ai，q)=jaijqj有：E(a1,q)=a11q+a12(1-q)=a12+(a11-a12)q=7-5qE(a2,q)=a21q+a22(1-q)=a22+(a21-a22)q=4+2qE(a3,q)=a31q+a32(1-q)=a32+(a31-a32)q=2+9q于是，可得到如下图示：按照大中取小准则，应有：7529EqEq得5/143514qE所以局中人Ⅱ的最优混合策略q*=5/149/14由图可知，当局中人I出a2时，期望收益小于均衡收益E*，故令p2＝0同时，因为q10，q20，所以有：2111373/14712373/14131pppppp得19/1435/14pp所以p*＝(9/14，0，5/14)【解】（2）E(p,b1)=a11p+a21(1-p)=a21+(a11-a21)p=8-7pE(p,b2)=a12p+a22(1-p)=a22+(a12-a22)p=5-2pE(p,b3)=a13p+a23(1-p)=a23+(a13-a23)p=2+8p于是，有如下图示：按照小中取大准则，有：5228EpEp得3/10245pE所以p*=(3/10,7/10)由图可知，当局中人II出b1时，期望收益大于均衡收益E*，故令q1*=0又因为p1*=3/10﹥0,p2*=7/10﹥03210322/5522322/5231qqqqqq解得：24/531/5qqq*=(0,4/5,1/5)T5．已知矩阵对策：A＝060800004的解为：x*＝（6/13,3/13,4/13）,y*＝(6/13,4/13,3/13)T，对策值为24/13，求下列矩阵对策的解：（1）2821022226（2）242226222（3）203820442020202032【解】（1）对于（1），根据定理8.6，因为A1＝A＋2所以，对策的值VG1=VG+k=24/13+2=50/13解为：X*=(6/13,3/13,4/13)Y*=(6/13,4/13,3/13)T（2）因为对242226222的第一列和第三列换位，得到：242622222=2060800004所以，T(GB)=T(GA)所以VGBVGA-2=VGB=24/13-26/13=-2/13但由于列换了位，所以解应为：X*=(6/13,3/13,4/13)Y*=(3/13,4/13,6/13)T（3）6．用行列式解法求解下列矩阵对策：（1）1140322210414301（2）032104321【解】（1）1034第四行优超于第二行-1401第1列优超于第4列2223划去第二行和第4列0411得到：103第1列优超于第3列222第二行优超于第一行041划去第一行和第3列得到：2204故鞍点为a31=2（2）123401230此矩阵为既约矩阵先求局中人Ⅰ的混合策略：第1列减第2列，第2列减第3列得-1-1a1：12-1=11,a2：-3-1=-－4,a3：1+4=54-1策略的混合