阶段性测试题5

阶段性测试题五(数列)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2011·山东东明县月考)在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于()A．40B．42C．43D．45[答案]B[解析]∵a1＝22a1＋3d＝13，∴d＝3.∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42，故选B.(理)(2011·江西南昌市调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是()A.12B．1C．2D．3[答案]C[解析]设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋nn－12d，∴{Snn}是首项为a1，公差为d2的等差数列，∵S33－S22＝1，∴d2＝1，∴d＝2.2．(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5B．－15C．5D.15[答案]A[分析]根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)．由对数的运算法则，得出an＋1与an的关系，判断数列的类型，再结合a2＋a4＋a6＝9得出a5＋a7＋a9的值．[解析]由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)得，an＋1＝3an，∵an0，∴数列{an}是公比等于3的等比数列，∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35，∴log13(a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5.3．(文)(2011·广东促元中学期中)已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公式q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则()A．a6＝b6B．a6b6C．a6b6D．以上都有可能[答案]B[解析]a6＝a1＋a112，b6＝b1b11＝a1a11，由q≠1得，a1≠a11.故a6＝a1＋a112a1a11＝b6.(理)(2011·安徽百校论坛联考)已知a0，b0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是()A．ab＝AGB．ab≥AGC．ab≤AGD．不能确定[答案]C[解析]由条件知，a＋b＝2A，ab＝G2，∴A＝a＋b2≥ab＝G0，∴AG≥G2，即AG≥ab，故选C.[点评]在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用．4．(2011·潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，12a3，a1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为()A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－12[答案]C[解析]∵a2，12a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q0，∴q＝5－12.5．(2011·北京日坛中学月考)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，则该数列前2011项的和S2011等于()A．1341B．669C．1340D．1339[答案]A[解析]列举数列各项为：1,1,0,1,1,0，….∵2011＝3×670＋1，∴S2011＝2×670＋1＝1341.6．(文)(2011·福建三明市期末联考)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为()A.2B．4C．2D.12[答案]C[解析]∵a1、a3、a7为等比数列{bn}中的连续三项，∴a23＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴公比q＝a3a1＝4d2d＝2，故选C.(理)(2011·安徽皖南八校联考)设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于()A．－43B．－32C．－23或－32D．－34或－43[答案]C[解析]集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24,36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q＝－32或－23.7．(文)(2011·山东实验中学期末)已知数列{an}为等差数列，若a11a10－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn0的最大值n为()A．11B．19C．20D．21[答案]B[解析]∵Sn有最大值，∴a10，d0，∵a11a10－1，∴a110，a100，∴a10＋a110，∴S20＝20a1＋a202＝10(a10＋a11)0，又S19＝19a1＋a192＝19a100，故选B.(理)(2010·西南师大附中月考)在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S150，S160，则在S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的是()A.S1a1B.S8a8C.S9a9D.S15a15[答案]B[解析]由于S15＝15a80，S16＝16a1＋a162＝8(a8＋a9)0，所以可得a80，a90.这样S1a10，S2a20，…，S8a80，S9a90，S10a100，…，S15a150，…而0S1S2…S8，a1a2…a80，所以在S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的是S8a8，故选B.8．(2011·江西新余四中期末)在△ABC中，sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA是角A、B、C成等差数列的()A．充分非必要条件B．充要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA⇒2sinAsinC－sin2A＝2cosAcosC＋cos2A⇒2cos(A＋C)＋1＝0⇒cosB＝12⇒B＝π3⇒A＋C＝2B⇒A、B、C成等差数列．但当A、B、C成等差数列时，sinAcosA＝2cosC＋cosA2sinC－sinA不一定成立，如A＝π2、B＝π3、C＝π6.故是充分非必要条件．故选A.9．(文)(2010·山东济南模拟)已知F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的一点，若∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是()A．2B．3C．4D．5[答案]D[解析]依题意得，|PF2|－|PF1|＝2a①，2|PF2|＝|PF1|＋2c②，由①、②可得|PF1|＝2c－4a，|PF2|＝2c－2a，又△F1PF2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，∴|PF2|2＋|PF1|2＝(2c)2，即c2＋5a2－6ac＝0，解得ca＝5，或ca＝1(舍去)，故选D.(理)(2010·海口调研)已知F1、F2分别是双曲线x2－y224＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，若|PF2|、|PF1|、|F1F2|是公差为正数的等差数列，则△F1PF2的面积为()A．24B．22C．18D．12[答案]A[解析]由题意可知|PF2||PF1|，所以点P在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2，又|PF2|＋|F1F2|＝2|PF1|，即|PF2|＋10＝2|PF1|，联立解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，所以△F1PF2是以点P为直角顶点的直角三角形，所以面积为12×8×6＝24.10.(文)(2011·天津河西区期末)将n2(n≥3)个正整数1,2,3，…，n2填入n×n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记f(n)为n阶幻方对角线上数的和，如右表就是一个3阶幻方，可知f(3)＝15，则f(n)＝()816357492A.12n(n2＋1)B.12n2(n＋1)－3C.12n2(n2＋1)D．n(n2＋1)[答案]A[解析]本题以幻方为载体考查了数列的求和问题．由已知可得f(n)＝1n(1＋2＋3＋…＋n2)＝1n×n2n2＋12＝nn2＋12.(理)(2011·海南嘉积中学模拟、四川广元诊断)若数列{an}满足：an＋1＝1－1an且a1＝2，则a2011等于()A．1B．－12C．2D.12[答案]C[解析]a1＝2，a2＝12，a3＝－1，a4＝2，a5＝12，a6＝－1，…依次类推，数列{an}的周期是3，而2011＝3×670＋1，故a2011＝a1＝2.11．(文)(2011湖北荆门市调研)数列{an}是等差数列，公差d≠0，且a2046＋a1978－a22012＝0，{bn}是等比数列，且b2012＝a2012，则b2010·b2014＝()A．0B．1C．4D．8[答案]C[解析]∵a2046＋a1978＝2a2012，∴2a2012－a22012＝0，∴a2012＝0或2，∵{bn}是等比数列，b2012＝a2012，∴b2012＝2，∴b2010·b2014＝b22012＝4.(理)(2011·豫南九校联考)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10＝()A．1033B．1034C．2057D．2058[答案]A[解析]an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，bn＝1×2n－1＝2n－1，ab1＋ab2＋…＋ab10＝a1＋a2＋a4＋…＋a29＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)＝10＋1×210－12－1＝210＋9＝1033.12．(文)(2011·绍兴一中模拟)在圆x2＋y2＝10x内，过点(5,3)有n条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列{an}的首项a1，最长弦长为an，若公差d∈13，23，那么n的取值集合为()A．{4,5,6}B．{6,7,8,9}C．{3,4,5}D．{3,4,5,6}[答案]A[解析]∵圆x2＋y2＝10x化为(x－5)2＋y2＝25，∴圆心为(5,0)，半径为5.故最长弦长an＝10，最短弦长a1＝8，∴10＝8＋(n－1)d，∴d＝2n－1，∵d∈13，23，∴132n－1≤23，∴4≤n7，又∵n∈N*，∴n的取值为4,5,6，故选A.(理)(2010·青岛质检)在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA→，OB→，OC→满足OC→＝a1OA→＋a2010OB→，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2010等于()A．1005B．1006C．2010D．2012[答案]A[解析]由条件知数列{an}为等差数列，且A、B、C三点共线，∴a1＋a2010＝1，故有S2010＝2010a1＋a20102＝1005.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2011·江苏镇江市质检)已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数列，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中垂线方程是________．[答案]x＋y－7＝0[解析]由条件得x1＝3，x2＝5，y1＝2，y2＝4，∴MN的中点(4,3)，kMN＝1，∴MN的中垂线方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0.14．(文)(2010·哈尔滨模拟)已知双曲线an－1y2－anx2＝an－1an(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y＝2x，其中数列{an}是以4为首项的正项数列，则数列{an}的通项公式是________．[答案]an＝2n＋1[解析]双曲线方程为y2an－x2an－1＝1，∵焦点在y轴上，又渐近线方