阶段性测试题二导数及其应用(含详解)

阶段性测试题二(导数及其应用)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2011～2012·北京西城区期末)设函数f(x)＝xsinx的导函数为f′(x)，则f′(x)等于()A．xsinx＋xcosxB．xcosx－xsinxC．sinx－xcosxD．sinx＋xcosx[答案]D[解析]f′(x)＝x′sinx＋x(sinx)′＝sinx＋xcosx，故选D.2．(2011～2012·滨州市沾化一中期末)曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是()A．y＝7x＋4B．y＝x－4C．y＝7x＋2D．y＝x－2[答案]D[解析]y′|x＝－1＝(4－3x2)|x＝－1＝1，∴切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2.3．(文)(2011～2012·广东韶关一调)函数y＝xex的最小值是()A．－1B．－eC．－1eD．不存在[答案]C[解析]y′＝ex(1＋x)，由y′0得x－1，由y′0得x－1，∴x＝－1时，ymin＝－1e.(理)(2011～2012·东营市期末)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是()A．1＋1eB．1C．e＋1D．e－1[答案]D[解析]f′(x)＝ex－1，当x0时，f′(x)0，f(x)为增函数，当x0时，f′(x)0，f(x)为减函数，∴x∈[－1,1]时，f(x)的最小值为f(0)＝e0－0＝1，又f(－1)＝1e＋132，f(1)＝e－12.5－1＝32，∴最大值为e－1.4．(2011～2012·豫南九校联考)设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a＝()A．－2B．－12C.12D．2[答案]A[解析]y′＝－2x－12，y′|x＝3＝－12，∵(－12)·(－a)＝－1，∴a＝－2.5．(文)设曲线y＝1＋cosxsinx在点π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1B.12C．－2D．2[答案]A[解析]∵y′＝－sin2x－1＋cosxcosxsin2x＝－1－cosxsin2x，∴f′π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a＝－1，故选A.(理)已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()A.278B．－2C．2D．－278[答案]A[分析]由三次函数图象可知，切线的斜率一定存在，故只需处理好“导数值”与“斜率”间的关系即可．[解析]设切点坐标为(t，t3－at＋a)．切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a①所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)②将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解之得：t＝0或t＝32.分别将t＝0和t＝32代入①式，得k＝－a和k＝274－a，由它们互为相反数得，a＝278.6．(文)(2011～2012·泉州五中模拟)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是()[答案]C[解析]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵二次函数的图象开口向上，∴a0，又对称轴为x＝1，即－b2a＝1，∴b＝－2a0，f′(x)＝2ax＋b，应是增函数，排除A、B，其纵截距为负值，排除D，故选C.(理)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(x)的极大值为4，则f(3)＝()A．16B．－2C．0D．8[答案]C[解析]f′(x)＝2ax＋b，由图知f′(0)＝b＝2，f′(1)＝2a＋b＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝－x2＋2x＋c，又f(x)的极大值为4，∴f(1)＝－1＋2＋c＝4，∴c＝3，∴f(3)＝－32＋2×3＋3＝0.7．(2011～2012·湖北襄阳市调研)设函数f(x)＝13x－lnx，则y＝f(x)()A．在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点B．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C．在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点[答案]D[解析]由f′(x)＝13－1x＝0得x＝3，0x3时，f′(x)0，x3时，f′(x)0，∴f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．∵f(3)＝1－ln30，∴f(x)在(0,3)和(3，＋∞)上各有一个零点，∵f(1)＝130，f(e)＝e3－10，∴f(x)在(1，e)内有零点，故选D.8．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，7]B．(－∞，－20]C．(－∞，0]D．[－12,7][答案]B[解析]令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，综上可知应选B.9．(2011～2012·厦门市质检)函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是()A．(－∞，0)B．(－∞，－3)和(1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－3,1)[答案]D[解析]y′＝(－2x)·ex＋(3－x2)·ex＝－(x2＋2x－3)ex，由y′0得，x2＋2x－30，∴－3x1，故选D.10．(文)(2011～2012·湄潭中学期末)曲线y＝13x3在点(2，83)处的切线方程是()A．12x－3y－16＝0B．12x－3y＋16＝0C．12y－3x－16＝0D．12y－3x＋16＝0[答案]A[解析]y′＝x2，当x＝2时，y′|x＝2＝4，∴切线方程为y－83＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0，故选A.(理)(2011～2012·山东日照一模)曲线f(x)＝xlnx在x＝e处的切线方程为(其中e为自然对数的底数)()A．y＝xB．y＝x－eC．y＝2x＋eD．y＝2x－e[答案]D[解析]f′(x)＝lnx＋1，∴f′(e)＝lne＋1＝2，又x＝e时，f(e)＝elne＝e，∴切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e，故选D.11．(2011～2012·成都市双流中学月考)函数y＝f(x)在定义域(－32，3)内的图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()A．[－1，12]∪[43，83]B．(－13，1]∪[2,3)C．(－32，12]∪[1,2)D．(－32，－13]∪[12，43)∪[43，3)[答案]B[解析]∵f′(x)≤0，∴f(x)单调递减，观察图象可见f(x)在[－13，1]上和[2,3)上单调递减，故选B.12．(2011～2012·大庆铁人中学期末)已知点P在曲线y＝x3－3x上移动，在点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围是()A．[0，π2]B．[2π3，π)C．[0，π2)∪[2π3，π)D．[0，π2)∪[5π6，π)[答案]C[解析]y′＝3x2－3≥－3，由导数的几何意义及直线倾斜角的定义知tanα≥－3，∴0≤απ2或2π3≤απ.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2011～2012·南昌市一模)已知函数f(x)＝xex，则函数f(x)图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．[答案]y＝x[解析]f′(x)＝ex＋xex，∴f′(0)＝1，又f(0)＝0，∴切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.(理)(2011～2012·会昌中学月考)函数y＝sin2x的图象在点P(π6，14)处的切线的斜率是________．[答案]32[解析]∵y′＝2sinxcosx＝sin2x，∴y′|x＝π6＝sin(2×π6)＝32，即曲线y＝sin2x在点P(π6，14)处的切线斜率是32.14．(文)已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m等于________．[答案]－2[解析]∵f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，∴m2－4＝0，∴m＝±2.∵g(x)在(－∞，＋∞)内单调递减，∴g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，则16＋12m≤0，解得m≤－43，∴m＝－2.(理)(2011～2012·龙岩一中月考)设函数f(x)＝lgx，x0，x＋0a3t2dt，x≤0，若f[f(1)]＝1，则a的值是________．[答案]1[解析]∵0a3t2dt＝t3|a0＝a3，∴f(x)＝lgxx0x＋a3x≤0，∴f(1)＝lg1＝0，f[f(1)]＝f(0)＝a3＝1，∴a＝1.15．(2011～2012·莆田一中质检)曲线y＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为________．[答案](1,0)或(－1，－4)[解析]设P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝(3x2＋1)|x＝x0＝3x20＋1，令3x20＋1＝4，∴x0＝±1，当x0＝1时，y0＝0，当x0＝－1时，y0＝－4，∴点P坐标为(1,0)或(－1，－4)．16．(2011～2012·龙岩一中月考)我们把形如y＝f(x)φ(x)的函数称为幂指函数，其中f(x)0，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得lny＝lnf(x)φ(x)＝φ(x)lnf(x)，两边对x求导数，得y′y＝φ′(x)lnf(x)＋φ(x)f′xfx，于是y′＝f(x)φ(x)[φ′(x)lnf(x)＋φxf′xfx]，运用此方法可以求得函数y＝xx(x0)在(1,1)处的切线方程是________．[答案]y＝x[解析]将y＝xx两边取对数得，lny＝xlnx，两边对x求导数得，y′y＝lnx＋1，∵y＝xx，∴y′＝xx(lnx＋1)，∴y′|x＝1＝1.∴y＝xx(x0)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2011～2012·北京西城区期末)设函数f(x)＝x3＋ax2－12x的导函数为f′(x)，若f′(x)的图象关于y轴对称．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的极值．[解析](1)f′(x)＝3x2＋2ax－12为偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－12x.(2)f′(x)＝3x2－12，由f′(x)0得x－2或x2，由f′(x)0得－2x2，∴f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上是增函数，在(－2,2)上是减函数，故极小值为f(2)＝－16，极大值为f(－2)＝16.18．(本小题满分12分)(2011～2012·陕西师大附中模拟)已知函数f(x)＝alnx－1x，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＝0垂直，求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)(理)当a＝1，且x≥2时，证明：f(x－1)≤2x－5.[解析](1)函数f(x)的定义域为{x|x0}，f′(x)＝ax＋1x2.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y＝0垂直，所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.(2)由f′(x)＝ax＋1x2.当a≥0时，对于x∈(0，＋∞)，有f′(x)0在定义域上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．当a0时，由f′(x)＝0，得x＝－1a∈(0，＋∞)．当x∈(0，－1a)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈(－1a，＋∞)