高一数学1.3.1单调性与最大最小值练习题及答案解析

由79教育网．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为()A．9B．9(1－a)C．9－aD．9－a2解析：选A.x∈[0,3]时f(x)为减函数，f(x)max＝f(0)＝9.2．函数y＝x＋1－x－1的值域为()A．(－∞，2]B．(0，2]C．[2，＋∞)D．[0，＋∞)解析：选B.y＝x＋1－x－1，∴x＋1≥0x－1≥0，∴x≥1.∵y＝2x＋1＋x－1为[1，＋∞)上的减函数，∴f(x)max＝f(1)＝2且y＞0.3．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为()A．0或1B．1C．2D．以上都不对解析：选B.因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2,对称轴为x＝a，开口方向向上，所以f(x)在[0，a]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f(x)max＝f(0)＝a＋2＝3，f(x)min＝f(a)＝－a2＋a＋2＝2.故a＝1.4．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1.则xy的最大值为________．解析：y4＝1－x3，∴0＜1－x3＜1,0＜x＜3.而xy＝x·4(1－x3)＝－43(x－32)2＋3.当x＝32，y＝2时，xy最大值为3.答案：31．函数f(x)＝x2在[0,1]上的最小值是()A．1B．0C.14D．不存在解析：选B.由函数f(x)＝x2在[0,1]上的图象(图略)知，f(x)＝x2在[0,1]上单调递增，故最小值为f(0)＝0.2．函数f(x)＝2x＋6，x∈[1，2]x＋7，x∈[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对解析：选A.f(x)在x∈[－1,2]上为增函数，f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(－1)＝6.3．函数y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值为()A．1B．2C．－1D．不存在解析：选A.因为函数y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.对称轴为x＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以ymax＝－1＋2＝1.由79教育网．函数y＝1x－1在[2,3]上的最小值为()A．2B.12C.13D．－12解析：选B.函数y＝1x－1在[2,3]上为减函数，∴ymin＝13－1＝12.Xkb1.com5．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，∴公司获得利润L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.∴当x＝9或10时，L最大为120万元，故选C.6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．2解析：选C.f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2，∴f(x)在[0,1]上单调递增．又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2.f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.7．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．解析：∵x∈N*，∴x2≥1，∴y＝2x2＋2≥4，即y＝2x2＋2在x∈N*上的最小值为4，此时x＝1.答案：48．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，新课标第一网∴1a≤3.答案：(1,3]9．函数f(x)＝xx＋2在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．解析：∵f(x)＝xx＋2＝x＋2－2x＋2＝1－2x＋2，∴函数f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝22＋2＝12，f(x)max＝f(4)＝44＋2＝23.答案：2312由79教育网．已知函数f(x)＝x2－12≤x≤11x1＜x≤2，求f(x)的最大、最小值．解：当－12≤x≤1时，由f(x)＝x2，得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；当1＜x≤2时，由f(x)＝1x，得f(2)≤f(x)＜f(1)，即12≤f(x)＜1.综上f(x)max＝1，f(x)min＝0.11．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12.所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金为x元．则租赁公司的月收益为f(x)＝(100－x－300050)(x－150)－x－300050×50，整理得f(x)＝－x250＋162x－21000＝－150(x－4050)2＋307050.所以，当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为307050元．12．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.①当a＜0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.②当0≤a＜1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.由79教育网提供资源全部免费③当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.④当a＞2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.