高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案

11函数的单调性与最值学习目标：1.使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用。2.会用单调性求最值。3.掌握基本函数的单调性及最值。知识重现1、一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I,使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）2、一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（3）对于任意的xI，都有f(x)M；（4）存在x0I,使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimumvalue）理论迁移例1“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1米）？例2已知函数f(x)=1x2(x［2,6］),求函数的最大值和最小值。归纳基本初等函数的单调性及最值1.正比例函数：f(x)=kx(k0)，当k0时,f(x)在定义域R上为增函数；当k0时,f(x)在定义域R上为减函数，在定义域R上不存在最值，在闭区间［a,b］上存在最值，当k0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka,当k0时,,最大值为f(a)=ka，函数f(x)的最小值为f(b)=kb。2.反比例函数：f(x)=xk(k0)，在定义域（-，0）（0,+）上无单调性，也不存在最值。当k0时，在（-，0），（0,+）为减函数；当k0时，在（-，0），（0,+）22为增函数。在闭区间［a,b］上，存在最值，当k0时函数f(x)的最小值为f(b)=bk,最大值为f(a)=ak,当k0时,函数f(x)的最小值为f(a)=ak，最大值为f(b)=bk。3.一次函数：f(x)=kx+b(k0),在定义域R上不存在最值，当k0时，f(x)为R上的增，当k0时，f(x)为R上的减函数，在闭区间［m,n］上，存在最值，当k0时函数f(x)的最小值为f(m)=km+b,最大值为f(n)=kn+b,当k0时,函数f(x)的最小值为f(n)=kn+b，最大值为f(m)=km+b。4.二次函数：f(x)=ax2+bx+c,当a0时，f(x)在（-,-ab2）为减函数，在（-ab2，+）为增函数，在定义域R上有最小值f(ab2)=abac442,无最大值。当a0时，f(x)在（-,-ab2）为增函数，在（-ab2，+）为减函数，在定义域R上有最大值f(ab2)=abac442,无最小值。函数单调性的应用1.利用函数的单调性比较函数值的大小例1如果函数f(x)=x2+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)，f(2)，f(4)的大小。例2已知函数y=f(x)在［0,+）上是减函数，试比较f(43)与f(a2-a+1)的大小。2.利用函数的单调性解不等式例3已知f(x)是定义在R上的单调函数，且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0)（1）解方程f(x)=f(1-x)(2)解不等式f(2x)f(1+x)(3)求适合f(x)2或f(x)0的x的取值范围。333．利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。例3已知f(x)=x2-2(1-a)x+2在（-，4）上是减函数，求实数a的取值范围。例4已知A＝［1,b］(b1),对于函数f(x)=21(x-1)2+1,若f(x)的定义域和值域都为A，求b的值。练习：已知函数y=f(x)=-x2+ax-4a+21在区间[0,1]上的最大值为2,求实数a的值。求函数值域（最值）的一般方法1.二次函数求最值，要注意数形结合与二次函数有关的函数，可以用配方法求值域，但要注意函数的定义域。例1：求函数y=2x-2x的最大值和最小值。44例2：求f(x)=x2-2ax+x2,x［-1,1］,求f(x)的最小值g(a).4.利用单调性求值域：当函数图像不好作或作不出来时，单调性成为求值域的首选方法。例3：求函数f(x)=1xx在区间［2,5］上的最大值与最小值。5.分段函数的最值问题分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数函数的最大或最小值，应该先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。例6：已知函数f(x)=)21(,1)121(,x2xxx求f(x)的最大最小值。