高一数学《函数的表示法》

太谷中学高一数学组第1页共7页高一数学《函数的表示法》教学设计授课教师太谷中学胡本智授课课题2．2函数的表示法（人教社全日制普通高级中学教科书（必修）第一册上）课时安排1课时授课时间2004/11/24授课班级高一年级278班教学目标一、教学知识点：1、函数表示法2、初等函数的图象3、分段函数的意义4、函数应用二、目的要求：1、使学生掌握函数的三种常用表示方法2、使学生了解初等函数图象的几种情形3、使学生理解分段函数的意义4、使学生初步学会用函数的知识解决实际问题的方法教学重点1、函数的表示法2、函数的应用知识难点函数的应用学情分析在学习本节内容之前，学生已经学过函数和映射，完全理解了此两概念的含义。在此基础上，来学习函数的表示法。但是由于受初中函数学习的影响，思维存在一种定势，学生认为表示函数方法就是解析法。即用解析表达式来表示函数，学生还认为函数的图象就是一些象正比例函数、反比例函数及一、二次函数的图象那样的直线或曲线。教学大纲规定本节课用一课时完成教学任务，因此在教学本节内容时我充分利用了多媒体课件的演示功能，利用课件直观形象的特点设置了问题的产生背景。渗透思想教育通过本节课的教学，使学生认识到知识无止境，对客观世界的认识也是永无止境的，认识到知识来源与实践，又反作用于实践。树立终身学习的思想。教法与教具教法：指导学生自学法教具：多媒体课件（幻灯片20张），实物展台，三角板教学过程教学方法和手段复习设A、B是非空数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x),x∈A其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域。从映射的观点来讲，函数实际上是建立在非空数集上的映射。函数的三要素：定义域，值域，对应法则.师生同步回顾（复习内容用一张幻灯片展示）太谷中学高一数学组第2页共7页引入课题播放一个CCTV4报道的关于上海股市2003年11月6日股票指数的视频，视频中音像交融播放上证指数的各种各样的图象——毫无规则的曲线、折线，由此提出了生活中类似这样的函数关系还很多。师：在播放视频的同时，证明现实生活当中会有各种各样的函数关系。问题：那么我们如何分析股市行情，才会使你炒股获得成功呢？如何表示现实生活中多姿多彩的函数关系呢？（一开课就引人入胜，激发了学生浓厚的学习兴趣，引课效果特别好，学生一下子变得非常专注）多媒体播放视频启发诱导新课讲解过程（板书课题）2.2函数的表示法师:课前同学们已经预习了函数的表示法，那么函数的表示法常用的有哪几种?各有什么优点?生:解析法，列表法，图象法。1、解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式。例如：A=πr2,y=kx,y=k/x（k≠0）,y=ax2+bx+c,y=√x—2,（x≥2）优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。就是列出表格来表示两个变量的函数关系例如：平方表、平方根表、三角函数表、银行里的“利息表”等，再如：1990—2000年国内生产总值表（P53）（展示幻灯片中的Flash插件，点击表格体现年份与生产总值的函数关系。）优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时，函数的对应值。（展示“生产总值表”对应的图象，引出图象法。）3、图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线，我国人口出生率变化曲线都是用图象法表示函数关系的。（展示Flash插件，描绘P53图2-2表示的我国1950年—2000年人口出生率的变化曲线。）优点：能直观形象地表示自变量变化时函数值的变化情况。这样我们可以通过图象，数形结合的研究函数的某些性质。即运用数形结合的数学思想解决数学问题。多媒体课件用幻灯片中的Flash插件例题讲解例1：某种笔记本每个5元，买x（x∈｛1,2,3,4｝）个太谷中学高一数学组第3页共7页笔记本的钱数记为y（元）.试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象。解：这个函数的定义域是集合｛1,2,3,4｝.函数解析式为y=5x,x∈｛1,2,3,4｝）它的图象由4个孤立点组成，这些点的坐标分别是:A（1,5），B（2,10），C（3,15），D（4,20）例2：国内投寄信函(外埠)，邮资按下列规则计算：1.信函质量不超过100g时，每20g付邮资80分，即信函质量不超过20g邮资80分，信函超过20g，不超过40g付邮资160分，依此类推；2.信函质量大于100g且不超过200g时，每100g付邮资200分，即信函质量超过100g，但不超过200g付邮资（A+200）分（A为质量等于100g的信函的邮资），信函超过200g，但不超过300g付邮资（A+200）分，依此类推。设一封xg（0＜x≤200＝的信函应付的邮资为y（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象。其定义域为x∈(0,200)，函数解析式为：80,x∈(0,20)，160,x∈(20,40)，240,x∈(40,60)，y=320,x∈(60,80)，400,x∈(80,100)，600,x∈(100,200)。它的图象是6条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示：例3:.21世纪游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，如（1）生自我尝试，师巡视指导。（2）选择有代表性的学生答案，用实物展台点评。（3）用幻灯片展示正解。（1）生自我尝试，师巡视指导。（2）选择有代表性的学生答案，用实物展台点评。（3）用幻灯片展示正解。20406080100x80160240320400y048056064020020406080100x80160240320400y04805606402001234x102030y01234x102030y0AABBCCDD太谷中学高一数学组第4页共7页图所示，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心4m处达到最高，高度为6m另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合。这个装饰物的高度应当如何设计？教学步骤：（1）师生同步分析题意（ⅰ）……周边……一圈喷水头（即：抛物），……[告诉①喷水头位置，即喷水头距水池中心10m,其高度与水面一致；告诉②“喷出的水柱”其轨迹是何类型？（轨迹为抛物线型）]（ⅱ）……使各方向喷来的水柱在此处汇合……{“各方向喷来的水柱”是何意：是各方向喷出的水柱交汇在水边的中心线上，（即是过水池中心的水面垂线）关于水池中心各相对方向喷出的水柱也交汇在水池的中心线上。}（2）让学生观察“圆形喷水池视频”（3）让学生分组讨论如何解答（4）老师点评：为研究方便，过水池中心线任意作一个截面（课件展示作截面过程）；建立平面直角坐标系，运用坐标法求解（课件展示）；最后用几何画板演示喷水轨迹的形成。（5）诱导学生运用待定系数法求解老师点拨：可选设顶点式，交点式或一般式，甚至取一半抛物线亦可解此题，只因截的抛物线是轴对称的，所以设了一个顶点式的分段函数。（6）师生同步运用幻灯片解答此题解：过水池的中心任意选取一个截面，如图所示由物理学知识可知，喷出的水柱轨迹是抛物线型。建立如图所示的直角坐标系。由已知条件易知，水柱上任意一个点距中心的水平距离x(m)与此点的高度y(m)之间的函数关系是a1(x+4)2+6(－10≤x＜0y=a2(x－4)2+6(0≤x≤10)由x=－10,y=0.得a1=－1/6；由x=10,y=0,得a2=－1/6于是，所求函数解析式是当x=0时,y=10/3.所以装饰物的高度为10/3米。运用视频帮助学生审题。四人小组讨论求解启发学生作截面图建立坐标系几何画板动态显示喷水的轨迹师生同步运)100(6)4(61)010(6)4(6122xxxxy太谷中学高一数学组第5页共7页108642-2-10-5510C:(4.0,6.0)D:(-4.0,6.0)DCAB注意：1.函数的图象通常是一些连续的曲线或直线，但有时它也可以是一段或几段光滑曲线，也可以由一些孤立点或几段线段组成，还可以由折线或射线来构成，或者是点、线段、射线、折线、直线和曲线组合而成，甚至可以是一些无规则的曲线。2.有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数。用解答此题课堂练习如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x，面积为y,把y表示为x的函数。答案：y=x√502—x2(0＜x＜50自我测试1、画出下列函数的图象(1)F(x)=2x,x∈Z，且|x|≤21,x∈(0,+∞)(2)y=-1,x∈(-∞,0)(3)画出函数y=︱x︱的图象x,(x≥0)提示：①xy=-x,(x＜0图象是第一二象限的角平分线。供学有余力的学生使用小结与作业课堂小结1、掌握函数的三种表示法：解析法、列表发和图象法。明确函数的图象不仅可以是光滑的曲线、直线、折线，还可以是一些孤立的点、若干条线段、射线或是它们的组合。2、会画一些简单函数的图象。3、学习了用函数的知识解决实际问题，其关键是通过认真分析题意将实际问题抽象，转化成数学问题。再去求解数学问题。从而回答实际问题。这就是数学建摸思想在实际问题中的具体25·Oxy25·Oxy太谷中学高一数学组第6页共7页应用。本课作业1．习题2.21、2、3、4、5、62．预习提纲1、增函数，减函数以及单调区间的定义是什么？2、证明函数单调性的方法步骤是什么？板书设计§2.21．函数的表示方法常用的有：例3.（1）解析法（2）列表法练习（3）图象法（多媒体）例1.…………例2.多媒体屏幕●教学后记：●教学设计指导思想：学生是教学的对象，又是教学活动的主体，因此学生主体性的发挥影响着学生对数学知识理解和掌握，影响着学生的数学意识和数学能力的提高。学生是教育的对象，又是教育的主体。所以在课堂上创设和谐、宽松、民主的教育环境，从而把他们培养成为自主地、能动地、创造性地进行认识和实践活动的社会主体。课堂教学是促进学生的主体性发展主要渠道,课堂教学有不同的教学模式,不同教学模式都有其独特的意向和针对性,模式的选择主要是根据不同的课程内容的特点和学生个体不同阶段主体性发展的目标要求，同时还要考虑不同学生的主体性发展的特点和学习心理特点。选择适当的教学模式，运用现代教学手段和信息，可以促进学生的主体性发展，可以促进现代教育信息技术和多媒体教学手段在高中数学教学中的运用以及新课程与现代教育技术的整合研究提供个案。真正提高学生的课堂学习数学的效率，减轻学生学习负担，发展人的主体性。合理运用多媒体教学手段促进学生主体性学习，使学生学会学习，能够利用教育信息提高自身主体性学习的能力。我是这样设计的：开始上课先复习函数、映射的概念，紧接着插入一个关于上海股市2003年股票指数的视频，视频中音像交融播放上证指数的各种各样的图象——毫无规则的曲线、折线，由此提出生活中类似这样的函数关系还很多，那么我们如何表示呢？如何分析股市行情，才会使你炒股获得成功呢？这样一开课就引人入胜，会激发学生浓厚的学习兴趣，这样引课学生一下子变得非常专注。在学生观看了视频后，先引导学生学习熟悉的第一种表示方法——解析法。如果要表示1990——2000年国民生产总值用解析法就很不方便，由此引出第二种表示法——列表法，将表格用Flash动画课件展示在学生面前，形象生动地揭示年份与产值之间的函数关系，然后通过分析前述两种方法的优劣。提出就象生活中气象预报问题，一天中温度随时间变化的函数关系，用解析法、列表法就很不方便了，由此引出图象法。如上证指数图象就是太谷中学高一数学组第7页共7页用图象法来表示函数关系的。接着用描点法把上例中1990——