近世代数知识点

近世代数知识点第一章基本概念1.1集合A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射证明映射：单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。满射：像集合中每个元素都有原像。Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算{（a,b）∣a∈A,b∈B}此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1自反性：∀a∈A,a~a;2对称性：∀a,b∈R,a~b=b~a∈R;3传递性：∀a,b,c∈R,a~b,b~c=a~c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。第二章群2.1半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,∘）Remark:i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。ii.若半群中的元素可交换，即a∘b=b∘a,则称为交换半群。2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。4.子半群i.设S是半群，∅≠T⊆S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群⇔∀a,b∈T,有ab∈T2.2群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i.若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii.加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={𝜺∈𝑪|𝜺m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2.群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b∈G,ax=b,ya=b有解3.群的性质i.群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b∈G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4.群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用|𝐺|表示。若为无限群，则|𝐺|=∞。Remark：i.克莱因四元群是一个Abel群ii.四阶群只有克莱因四元群和模4的剩余类群2.3元素的阶1.定义：设G是一个群，a∈G,使得am=e成立的最小正整数m称为元素a的阶，记作|𝑎|=m;若m不存在，则|𝑎|∞2.阶的性质①G是一个群，a∈G,|𝑎|=m,i.an=e⇔m|n;ii.ah=ak⇔m|ℎ−𝑘;iii.e=a0,a1,a2,……am-1两两不同；iv.★∀r∈Z,|ar|=()Remark:i.∀r∈Z,|ar|=m⇔(m,r)=1;ii.若m=st,s,t∈N,则|as|=t.②|𝑎|∞，i.an=e⇔n=0;ii.ah=ak⇔ℎ𝑘;iii.……a-2,a-1,a0,a1,a2……两两不等iv.∀r∈Z\{0},|ar|=∞.Remark:若|a|∞,|b|∞,则|ab|∞？……（×）定理：有限群中的元素的阶均有限。Remark：定理的逆不成立，即群中所有的元素的阶都有限，但群不一定是有限群，例如n次单位根群。单位根群是一个无限交换群。3.★★循环群定义：设G是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，a为该循环群的生成元。记G=(a).Remark:生成元不一定唯一，例如（Z,+）,1，-1都是生成元。定理：设G=（a）是一个循环群，（1）若||,则G是含m个元素的有限群，且G={a0,a1,a2……am-1}；（2）若||∞，则G是无限群，且G={……a-2,a-1,a0,a1,a2……}.定理：设G=（a）是一个循环群，（1）若||,则G有(m)个生成元：ar,(r,m)=1（2）若||∞，则G有两个生成元：a,a-1（3）若||,ar是G的生成元⇔|ar|=m;（4）设p是素数，则P阶循环群G=(a)有p-1个生成元：a,a2……ap-1Remark：(m)表示小于m，且与m互素的非负整数的个数素数阶群一定是循环群。★定理：设G是m阶群,则G是循环群⇔G有m阶元2.4子群定义：设G是半群，∅≠H⊆G,若H对G的运算构成群，则称H是G的子群，记为H≤G.1.子群的性质（1）传递性：H≤K，K≤G，则H≤G;（2）保单位元：设H≤G，a∈H,则eH=eG;（3）保逆元：设H≤G，a∈H,则a-1H=a-1G.★定理：设G是半群，∅≠H⊆G,H≤G⇔∀a,b∈H,有ab,a-1∈H⇔∀a,b∈H,ab-1∈H