高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一))(教师版)

1高一数学同步练习必修四第一章三角函数（一）一、任意角、弧度制及任意角的三角函数A.基础梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．3．三角函数线三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线B.方法与要点1、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合β|β＝π2＋kπ，k∈Z；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为ββ＝kπ2，k∈Z.2、两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．3、三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二2类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．C.双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()．A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用。答案C2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案A3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由sinα＜0知α是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tanα＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角．答案C4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cosα的值为()．A．－55B.255C．－255D．－12解析由三角函数的定义可知，r＝5，cosα＝－15＝－55.答案A5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.解析根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sinθ＝y16＋y2＝－255⇒y＝－8.答案－8考点二三角函数的定义【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cosθ＝()．A．－45B．－55C.55D.55解析取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cosθ＝±55，答案D考点三弧度制的应用3【例3】►已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.[审题视点](1)由已知条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．解(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r＝10，∴弧长l＝α·r＝π3×10＝10π3，∴S扇形＝12lr＝12×10π3×10＝50π3，而S△AOB＝12·AB·1032＝12×10×1032＝5032，∴S＝S扇形－S△AOB＝50π3－32.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：sinαcosα＝tanα.2．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，tan)2tan(k其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α.公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α.公式五：sinπ2－α＝cos_α，cosπ2－α＝sinα.公式六：sinπ2＋α＝cos_α，cosπ2＋α＝－sin_α.诱导公式可概括为k·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时原．函数值的符号作为结果的符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinαcosα化成正、余弦．4(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．（cossin、cossin、cossin三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tanπ4＝….（4）齐次式化切法：已知ktan，则nmkbaknmbanmbatantancossincossin3、三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负——脱周——化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．C.双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cosα的值为()．A．±12B.12C.32D．±32解析∵sin(π＋α)＝－sinα＝12，∴sinα＝－12.∴cosα＝±1－sin2α＝±32.答案D2．点A(sin2011°，cos2011°)在直角坐标平面上位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析2011°＝360°×5＋(180°＋31°)，∴sin2011°＝sin[360°×5＋(180°＋31°)]＝－sin31°＜0，cos2011°＝cos[360°×5＋(180°＋31°)]＝－cos31°＜0，∴点A位于第三象限．答案C3．已知cosα＝45，α∈(0，π)，则tanα的值等于()．A.43B.34C．±43D．±34解析∵α∈(0，π)，∴sinα＝1－cos2α＝35，∴tanα＝sinαcosα＝34.答案B4．cos－17π4－sin－17π4的值是()．A.2B．－2C．0D.22解析cos－17π4＝cos17π4＝cos4π＋π4＝cosπ4＝22，sin－17π4＝－sin17π4＝－sin4π＋π4＝－sinπ4＝－22.∴cos－17π4－sin－17π4＝22＋22＝2.答案A5．已知α是第二象限角，tanα＝－12，则cosα＝________.5解析由题意知cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα＝－12.∴cosα＝－255.答案－255D.考点解析考点一利用诱导公式化简、求值【例1】►已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αsinπ2＋αtanπ＋α，求f31π3.[审题视点]先化简f(α)，再代入求解．解f(α)＝sinαcosαcosαtanα＝cosα，∴f31π3＝cos313π＝cos10π＋π3＝cosπ3＝12.(1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．【训练1】已知角α终边上一点P(－4,3)，则cosπ2＋αsin－π－αcos11π2－αsin9π2＋α的值为________．解析原式＝－sinαsinα－sinαcosα＝tanα，根据三角函数的定义，得tanα＝yx＝－34.答案－34考点二同角三角函数关系的应用题型1：已知一个三角函数值，求其他三角函数值【例2－1】►已知3tan，23，那么sincos的值是（）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆231B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆231C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆231D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆231解析：由41cos1coscos31cossin3cossintan22222，∵23，∴21cos∴23cos1sin2.∴sincos231.故选B题型2：齐次化切法【例2－2】►已知tanα＝2.求：(1)2sinα－3cosα4sinα－9cosα；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.[审题视点](1)齐次化切法，方法：同除cosα；(2)利用1＝sin2α＋cos2α，把整式变为分式，再同除cos2α.6解(1)2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝2tanα－34tanα－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4sin2α－3sinαcosα－5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1＝4×4－3×2－