高一数学寒假课程第10讲-平面向量及其应用

寒假课程·高一数学1第十讲平面向量及其应用一、知识梳理1.向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.2.向量的表示：①用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.②用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；3.向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作AB.4.几组特殊的向量：①零向量：长度为零方向任意的向量叫做零向量，记作0或0.②单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.③平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记作ab∥.④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.若a与b相等，记作ab.⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.向量a的相反向量记为a.5.向量加法：①规定：0aa，0aaaa，即0ABBA；②向量加法的三角形法则③向量加法的平行四边形法则：6.向量加法的运算律：交换律：abba；结合律：abcabc.7.向量减法：三角形法则即ab表示从向量b的终点指向被减向量a的终点的向量.8.向量的数乘的定义：一般的，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：（1）aa；（2）当0时，a与a方向相同，当0时，a与a，方向相反，当＝0时，a＝0.实数与向量a相乘，叫做向量的数乘.9.向量数乘的运算律：（1）()()aa（结合律）；（2）()aaa（分配律）；（3）()abab（分配律）.10.向量共线定理：一般地，对于两个向量a（0a），b，如果有一个实数，使得(0)baa，那么b与a是共线向量，反之，如果b与a（0a）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得ba.寒假课程·高一数学211.平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a=11e+22e.我们把不共线的向量1e，2e叫做表示这个平面内所有向量的一组基底.12.向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任取一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得axiyi，则把（x，y）叫做向量的直角坐标，记作：a=（x，y）.13.向量坐标运算：已知),(11yxa，),(22yxb，1212(,)abxxyy，1212(,)abxxyy，),(11yxa.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.14.共线向量坐标表示的一般性结论：设a11(,)xy，b22(,)xy（a≠0），如果a∥b，那么12210xyxy；反过来，如果12210xyxy，那么a∥b.结论（简单表示）：向量a与b共线0b01221yxyxba.15.向量的夹角：对于两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB（0≤θ≤180°）叫做向量a和b的夹角.特别地，当θ=0时，a与b同向；当θ=180时，a与b反向；当θ=90时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.16.平面向量数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积，记作a·b，即：a·b=|a||b|cosθ.向量数量积的运算律：设向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：（1）a·b=b·a；（交换律）；（2）（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b）=λa·b；（结合律）；（3）（a+b）·c=a·c+b·c.（分配律）.17.平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.二、方法归纳寒假课程·高一数学3（1）以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常方便；（2）以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解；在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算.三、课堂训练例1.设向量a＝（1，0），b＝12，12，则下列结论中正确的是（）A.|a|＝|b|B.a·b＝22C.a－b与b垂直D.a∥b例2.已知21,ee是夹角为32的两个单位向量，,,22121eekbeea若0ba，则k的值为.例3.△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD→＝（）A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b例4.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.寒假课程·高一数学4例5.如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|=|OB|=1，|OC|23，若OCOAOB（λ，μ∈R），则λ+μ的值为.例6.已知).1,2(),0,1(ba①求|3|ba；②当k为何实数时，kab与ba3平行，平行时它们是同向还是反向？例7.已知,1||,2||baa与b的夹角为3π，若向量bka2与ba垂直，求k.例8.已知平面向量α，β（α≠0，α≠β）满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________.四、课后作业ABCO寒假课程·高一数学51.已知向量a和b的夹角为1200，|a|=1|b|=3，，|5ab|=.2.已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2），若（a＋b）∥c，则m＝________.3.已知点O是，，内的一点，0090BOC150AOBABC,,,OAcOCbOBa设且,3,1,2cba试用.,cba表示和4.求向量a=（1，2）在向量b=（2，－2）方向上的投影.5.已知(2,4)a，(1,3)b，(6,5)c，2pabc，则以a，b为基底，求p.6.已知两单位向量a与b的夹角为0120，若2,3cabdba，试求c与d的夹角.7.已知△ABC的顶点分别为A（2，1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高AD，求AD及点D的坐标.8.已知向量(1,2)a，(2,3)b.若向量c满足()//cab，()cab，则c（）A.77(,)93B.77(,)39C.77(,)39D.77(,)939.如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力PDPCPBPA、、、、PE作用于同一点P，求五个力的合力.10.设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求k的值.寒假课程·高一数学611.已知O为△ABC所在平面内一点，且满足2222||||||||CAOBBCOA2||OC2||AB.求证：O点是△ABC的垂心.12.已知△ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设△APQ的面积为1S，△ABC的面积为2S，APpPB，AQqQC，则（ⅰ）pqpq，（ⅱ）12SS的取值范围是.13.如图，在直角△ABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问BCPQ与的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值.