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1.2.3第3课时一、选择题1．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有()A．0条B．1条C．2条D．无数条[答案]A[解析]假设平面α内存在一条直线l⊥β，则α⊥β，这与α与β不垂直矛盾，故平面α内不存在能与平面β垂直的直线．2．给出下列四个命题：①若直线l与平面α内无数条直线垂直，则直线l⊥平面α；②平面α与β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；③若直线l⊥平面α，则存在a⊂α，使l∥a；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]当l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l不一定与α垂直，①错误；当平面α与β分别过两条互相垂直的直线时，α，β可能垂直，也可能不垂直，②错误；根据直线与平面垂直的定义，知直线l⊥平面α时，l与α内的所有直线都垂直，不可能存在直线与l平行的情况，③错误；根据线面垂直的判定定理知④正确．选A.3．直线a和平面α内两条直线b、c都垂直，给出下列说法，正确的说法是()①a∥α可能成立；②a⊥α；③平面α可能经过a；④a有可能与平面α相交．A．①②③④B．③④C．①②④D．①③④[答案]D[解析]如图所示，a∥α，b⊂α，c⊂α，a⊥b，a⊥c，故①正确，②不正确，故选D.4．空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BC，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH的形状是()A．平行四边形B．长方形C．菱形D．正方形[答案]D[解析]如图所示，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF綊12AC，HG綊12AC，∴四边形EFGH是平行四边形，又EH＝12BD，BD＝AC，∴EH＝EF，∴四边形EFGH是菱形．取BD中点M，连结AM、CM，∵AB＝AD，∴AM⊥BD，又CB＝CD，∴CM⊥BD，又AM∩CM＝M，∴BD⊥平面ACM，∴BD⊥AC.又EF∥AC，BD∥EH，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是正方形．5．α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则()A．α∥β且γ∥ωB．α∥β或γ∥ωC．这四个平面中可能任意两个都不平行D．这四个平面中至多有一对平面平行[答案]B[解析]设α∩β＝a.∵α⊥γ，β⊥γ.∴a⊥γ.同理a⊥ω.∴γ∥ω；若α∥β，则γ与ω相交或平行．∴α∥β或γ∥ω.6．设a、b是异面直线，下列命题正确的是()A．过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B．过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C．过a一定可以作一个平面与b垂直D．过a一定可以作一个平面与b平行[答案]D[解析]A不正确，若点P和直线a确定平面α，当b∥α时，满足条件的直线不存在；B不正确，若存在，则有a∥b，这与a、b是异面直线矛盾；C不正确，只有a、b垂直时，才能作出满足条件的平面．只有D正确．二、填空题7．给出下列四个命题：①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．其中正确的是________．[答案]④[解析]过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若α⊥β，a⊥α，则a⊂β或a∥β，②不对；当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一个，③不对，故只有④对．8．平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________________．[答案]PO⊥平面ABCD[解析]如图所示，∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，∴OA＝OC，又PA＝PC∴△POA≌△POC，∴∠POA＝∠POC＝90°，∴PO⊥AC.同理PO⊥BD，又AC∩BD＝O，∴PO⊥面ABCD.9．(2010·湖南文，13)如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.[答案]4[解析]该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V＝13×12×5×6×h＝20，∴h＝4cm.10．已知：直线l和平面α，β，且l⊄α，l⊄β，若从①l⊥α，②α⊥β，③l∥β中任取两个作为条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题：______________.[答案]①③⇒②(答案不惟一)[解析]如图所示，∵l∥β，∴过直线l作平面γ∩β＝a，∴l∥a，∵l⊥α，∴a⊥α，又a⊂β，∴α⊥β.三、解答题11．如右图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，SA＝SB.求证：SA⊥BC.[解析]作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，∵侧面SBC⊥底面ABCD，∴SO⊥底面ABCD.∵SA＝SB，∴AO＝BO.又∠ABC＝45°，故△AOB为等腰直角三角形，即AO⊥BO，又BC⊥SO，且SO∩OA＝O，∴BC⊥平面SOA，∴SA⊥BC.12．(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．[解析](1)∵侧面BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1，又∵B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，∴B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C∴平面AB1C⊥平面A1BC1.(2)设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．∵A1B∥平面B1CD，A1B⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，∴A1B∥DE.又E是BC1的中点，∴D为A1C1的中点．即A1DDC1＝1.13．我国北方冬季种植蔬菜时要在温室里进行，如图，某蔬菜专业户要借助自家围墙修建一温室，温室由两墙面、地面和塑料薄膜四个面围成，已知：两墙的长度分别为a米和b米，高为c米，假定两墙面、地面彼此的交线互相垂直．问：修建温室需要多少塑料薄膜？[解析]∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝0，∴OC⊥平面AOB，∴OC⊥AB.过点O作OM⊥AB于M，则AB⊥平面COM，∴AB⊥CM.在Rt△AOB中，AB＝OA2＋OB2＝a2＋b2，∴OM＝OA·OBAB＝aba2＋b2.在Rt△COM中，CM＝OC2＋OM2＝a2b2＋b2c2＋c2a2a2＋b2.∴S△ABC＝12AB·CM＝a2b2＋b2＋c2＋c2a22.故修建温室需要塑料薄膜a2b2＋b2c2＋c2a22平方米．14．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．[解析](1)设G为AD的中点，连结PG，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中点F，连结DE、EF、DF，在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB，由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.15．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈CC1，B1E⊥BC1，AB＝AD，求证：AC1⊥面B1ED1.[解析]∵ABCD－A1B1C1D1为长方体，∴AB⊥平面BB1C1C，又∴B1E⊂平面BB1，C1C，∴AB⊥B1E，又∵B1E⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴B1E⊥平面ABC1，∴B1E⊥AC1，连结A1C1，∵AB＝AD，∴长方体上、下底面ABCD、A1B1C1D1为正方形．∴A1C1⊥B1D1.又∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，B1E∩B1D1＝B1，∴AC1⊥平面B1ED1.