高一数学必修4向量复习讲义[整理]

数学必修4平面向量复习（2010年4月）一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量a共线的单位向量0aaa3.平行向量：若非零向量,ab方向相同或相反，则//ab；规定零向量与任一向量平行4、向量相等：ba模相等，方向相同；相反向量：ba模相等，方向相反5、两个非零向量a、b的夹角：做OA=a；OB=b；AOB叫做a与b的夹角。6、坐标表示：i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，若ajyix，则yx,叫做a的坐标。7.向量a在b方向上的投影：设为a、b的夹角，则cosa为a在b方向上的投影二、基本运算：运算向量形式坐标形式：11,yxa；22,yxb加法1平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。2三角形加法法则：首尾相连记：ABBCACa+b=2121,yyxx减法起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）记：OAOBBAACABCBa-b=2121,yyxx数乘a是一个向量，a||||a方向：0时，与a同向；0时，与a反向；0时，0a11,yxa数量积a·b=cos||||baa·b=2121yyxx三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若1e与2e不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1、2；使得a2211ee。2、向量的模：a＝aa＝22yx；非零向量a与b的夹角：cos222221212121||||yxyxyyxxbaba3、向量平行：a∥bba1221yxyx；向量垂直：a⊥b0ba02121yyxx四、基础训练（1）已知3,2ba，且4ba，则向量b在向量a上的投影为（2）已知A（3，y），B（5，2），C（6，9）三点共线，则y=_________.（3）非零向量a和b满足：||||||abab，则a与ab的夹角等于.五、典例讲解.例1.已知(1,2)ABa，(3,2)BCb，(6,4)CD（1）证明：,,ABD三点共线.（2）k为何值时，①向量kab与3ab平行②向量kab与3ab垂直例2、平面内有向量OAOBOP（1，7），（5，1），（2，1），点Q为直线OP上一动点，1）求QAQB取最小值时，点Q的坐标2）当点Q满足1）的条件和结论时，求cosAQB的值。例3.已知向量(sin,1)a，(1,cos)b，(,)22（1）若ab求的值。（2）求ab的最小值.（3）求函数)(fy=a·b的单调增区间六、巩固练习1．已知平面内三点A（-1，0），B（x，6），P（3，4），且AP=PB，x和的值分别为()A．-7，2B．5，2C．-7，52D．5，522、向量a，b满足6a，10b，则ba的取值范围是．3、已知6a，8b，10ba，则ba．4、已知a1e+2e，b２1e－2e，则向量a+2b与2a－b（）A、一定共线B、一定不共线C、仅当1e与2e共线时共线D、仅当1e=2e时共线5、已知ABC顶点A（―1，12），B（2，3）及重心坐标G（1，12），则顶点C的坐标为__________6．已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且2PAOP，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是7、已知|a|=|b|，ab，且（a+b）（ka-b），则k的值是()A．1B．-1C．0D．-28、已知(1,2),(1,1)ab，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围为_____________________9、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）,P为一动点，及ABtOAOP，（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。QPACB10、已知1a，2b，且a与b的夹角为060（1）求ab，2(2)ab，3ab（2）证明：ab与a垂直11、已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）（1）若|c|=25，且c‖a，求c的坐标（2）若|b|=25，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角.12、已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，（Ⅰ）判断BPCQAPCB的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由；（Ⅱ）求BPCQ的最大值．