高一数学必修4第一章综合检测题

第一章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α是第二象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[答案]A[解析]α为第二象限角，不妨取α＝120°，则180°－α为第一象限角．2．sin(－600°)＝()A.12B.32C．－12D．－32[答案]B3．已知角α的终边经过点P(3，－4)，则角α的正弦值为()A.34B．－4C．－45D.35[答案]C[解析]x＝3，y＝－4，则r＝x2＋y2＝5，则sinα＝yr＝－45.4．函数y＝tanx－π4的定义域是()A.xx≠π4B.xx≠－π4C.xx≠kπ＋π4，k∈ZD.xx≠kπ＋3π4，k∈Z[答案]D[解析]要使函数有意义，则有x－π4≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠3π4＋kπ，k∈Z.5．已知sin(π＋α)＝13，则cos3π2－α等于()A．－13B.13C．－33D.33[答案]B[解析]sin(π＋α)＝－sinα＝13，则sinα＝－13，cos3π2－α＝－sinα＝13.6．函数y＝sin2x＋π6的一个单调递减区间为()A.π6，2π3B.－π3，π6C.－π2，π2D.π2，2π3[答案]A[解析]令π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ(k∈[])，整理得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，所以仅有π6，2π3是单调递减区间．7．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－43B.54C．－54D.45[答案]D[解析]sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－21＋tan2θ＝45.8．将函数y＝sin(x－π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是()A．y＝sin12xB．y＝sin(12x－π2)C．y＝sin(12x－π6)D．y＝sin(2x－π6)[答案]B[解析]y＝sin(x－π3)――→横坐标伸长为原来的2倍y＝sin(12x－π3)错误!y＝sin[12(x－π3)－π3]＝sin(12x－π2)．9．已知函数f(x)＝sinx－π2(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间0，π2上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数[答案]D[解析]∵f(x)＝sinx－π2＝－cosx(x∈R)，∴T＝2π，在0，π2上是增函数．∵f(－x)＝－cos(－x)＝－cosx＝f(x)．∴函数f(x)是偶函数，图象关于y轴即直线x＝0对称．10．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b，下表是某日各时的浪高数据：t/时03691215182124y/米2321322320.99322则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是()A．y＝12cosπ6t＋1B．y＝12cosπ6t＋32C．y＝2cosπ6t＋32D．y＝12cos6πt＋32[答案]B[解析]∵T＝12－0＝12，∴ω＝2πT＝2π12＝π6.又最大值为2，最小值为1，则A＋b＝2，－A＋b＝1，解得A＝12，b＝32，∴y＝12cosπ6t＋32.11．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，fπ2＝－23，则f(0)等于()A．－23B．－12C.23D.12[答案]C[解析]首先由图象可知所求函数的周期为T＝211π12－7π12＝2π3，故ω＝2π2π3＝3.将11π12，0代入解析式，得Acos3×11π12＋φ＝0，即cos11π4＋φ＝0，∴11π4＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，∴φ＝－9π4＋2kπ(k∈Z)．令φ＝－π4，代入解析式得f(x)＝Acos3x－π4.又∵fπ2＝－23，∴fπ2＝－Asinπ4＝－22A＝－23，∴A＝232，∴f(0)＝232cos－π4＝232cosπ4＝23.12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(3π4，0)对称，且在区间[0，π]上是单调函数，则ω＋φ＝()A.π2＋23B.π2＋2C.π2＋32D.π2＋103[答案]A[解析]由于f(x)是R上的偶函数，且0≤φ≤π，故φ＝π2.图象关于点M(3π4，0)对称，则f(3π4)＝0，即sin(3π4ω＋π2)＝0，所以cos3ωπ4＝0.又因为f(x)在区间[0，π]上是单调函数，且ω0，所以ω＝23.故ω＋φ＝π2＋23.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．[答案]8014．化简1－2sin4cos4＝________.[答案]cos4－sin4[解析]原式＝sin24＋cos24－2sin4cos4＝sin4－cos42＝|sin4－cos4|.则sin4cos4，所以原式＝cos4－sin4.15．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，π2]时，f(x)＝sinx，则f(5π3)的值为________．[答案]32[解析]∵T＝π，∴f(5π3)＝f(π＋2π3)＝f(23π)＝f(π－π3)＝f(－π3)＝f(π3)＝32.16．已知函数f(x)＝sin2x－π4，在下列四个命题中：①f(x)的最小正周期是4π；②f(x)的图象可由g(x)＝sin2x的图象向右平移π4个单位长度得到；③若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝－1，则x1－x2＝kπ(k∈Z，且k≠0)；④直线x＝－π8是函数f(x)图象的一条对称轴．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．[答案]③④[解析]f(x)的最小正周期是T＝2π2＝π，所以①不正确；f(x)＝sin2x－π8，则f(x)的图象可由g(x)＝sin2x的图象向右平移π8个单位长度得到，所以②不正确；当f(x)＝sin2x－π4＝－1时，有2x－π4＝－π2＋2kπ(k∈Z)，则x＝－π8＋kπ(k∈Z)，又x1≠x2，则x1＝－π8＋k1π(k1∈Z)，x2＝－π8＋k2π(k2∈Z)，且k1≠k2，所以x1－x2＝(k1－k2)π＝kπ(k∈Z且k≠0)，所以③正确；当x＝－π8时，f(x)＝sin2－π8－π4＝－1，即函数f(x)取得最小值－1，所以④正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设f(θ)＝2cos3θ＋sin22π－θ＋sinπ2＋θ－32＋2sin2π2＋θ－sin3π2－θ，求f(π3)的值．[解析]解法一：f(π3)＝2cos3π3＋sin22π－π3＋sinπ2＋π3－32＋2sin2π2＋π3－sin32π－π3＝2cos3π3＋sin25π3＋sin5π6－32＋2sin25π6－sin7π6＝2×18＋34＋12－32＋2×14＋12＝－12.解法二：∵f(θ)＝2cos3θ＋sin2θ＋cosθ－32＋2cos2θ＋cosθ＝2cos3θ＋1－cos2θ＋cosθ－32＋cosθ＋2cos2θ＝2cos3θ－2－cos2θ－cosθ2＋cosθ＋2cos2θ＝2cos3θ－1－cosθcosθ－12＋2cos2θ＋cosθ＝cosθ－12cos2θ＋cosθ＋22cos2θ＋cosθ＋2＝cosθ－1，∴f(π3)＝cosπ3－1＝－12.18．(本题满分12分)(2011～2012·山东济南一模)已知sinθ＝45，π2θπ.(1)求tanθ；(2)求sin2θ＋2sinθcosθ3sin2θ＋cos2θ的值．[解析](1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝1－sin2θ＝925.又π2θπ，∴cosθ＝－35.∴tanθ＝sinθcosθ＝－43.(2)sin2θ＋2sinθcosθ3sin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋2tanθ3tan2θ＋1＝－857.19．(12分)已知x∈[－π3，2π3]，(1)求函数y＝cosx的值域；(2)求函数y＝－3sin2x－4cosx＋4的值域．[解析](1)∵y＝cosx在[－π3，0]上为增函数，在[0，2π3]上为减函数，∴当x＝0时，y取最大值1；x＝2π3时，y取最小值－12.∴y＝cosx的值域为[－12，1]．(2)原函数化为：y＝3cos2x－4cosx＋1，即y＝3(cosx－23)2－13，由(1)知，cosx∈[－12，1]，故y的值域为[－13，154]．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝3sin12x＋π4－1，x∈R.求：(1)函数f(x)的最小值及此时自变量x的取值集合；(2)函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到函数f(x)＝3sin12x＋π4－1的图象？[解析](1)函数f(x)的最小值是3×(－1)－1＝－4，此时有12x＋π4＝2kπ－π2，解得x＝4kπ－3kπ2(k∈Z)，即函数f(x)的最小值是－4，此时自变量x的取值集合是xx＝4kπ－3π2，k∈Z.(2)步骤是：①将函数y＝sinx的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y＝sinx＋π4的图象；②将函数y＝sinx＋π4的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin12x＋π4的图象；③将函数y＝sin12x＋π4的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y＝3sin12x＋π4的图象；④将函数y＝3sin12x＋π4的图象向下平移1个单位长度，得函数y＝3sin12x＋π4－1的图象．21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A0，ω0,0φπ2)的周期为π，且图象上一个最低点为M(2π3，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，π12]时，求f(x)的最值．[解析](1)由最低点为M(2π3，－2)，得A＝2.由T＝π，得ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M(2π3，－2)的图象上，得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1.所以4π3＋φ＝2kπ－π2，(k∈Z)．故φ＝2kπ－11π6(k∈Z)．又φ∈(0，π2)，所以φ＝π6.所以f(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)因为x∈[0，π12]，所以2x＋π6∈[π6，π3]．所以当2x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，f(x)取得最大值3.22．(本题满分12分)已知f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a＋1(a为