高一数学必修5数列

第1页共8页《数列》1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n在变化过程中的联系，初步归纳公式。（2）公式法：等差数列与等比数列n-1n1n1a=a+n-1da=aq（）（3）利用nS与na的关系求na11,(1),(2)nnnSnaSSn例1，已知数列2{},=2n-3,nnnnana的前n项和为S且S求通项公式例2，123{}a23......(1)(2),nnnaaanannn数列中，求通项a（4）构造新数列法；例1.nn11n{a}a2+1a=annaa的各项均为正数，且满足，2，求例2.n1n12{a}a=1a=+2nnnaaa数列中，，，求例3.n1n2n1n{a}a=14,a2a2,annaa数列中，，求（5）逐项作差求和法；（叠加法）（6）逐项作商求积法（形如：1()nnagga为常数）判断一个数列为等差数列的方法1）定义法：1()nnnnaad常数，（N）{a}为等差数列2）递推法：12nnnnnaaa2,（N）{a}为等差数列（性质）3）nnna通项法：为的一次函数{a}为等差数列4）求和法：2{}nnnnnAnBnaS{a}为等差数列(S为数列的前项和)例1：已知数列2(,,)nnapnqnpqRpq{a}的通项公式是且为常数1pqn）当和满足什么条件时，数列{a}是等差数列？12pnnqaa）求证：对任意实数和，数列是等差数列2.等差数列{}na中：第2页共8页（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性d0,单调递增；d0，单调递减。（2）1(1)naand()manmd；（3）{}nka也成等差数列，公差为kd；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.{}{}k()nnnnnnabababk}和{为等差数列，则数列，为非零常数也是等差数列(5)1211221213,,mmmmmmmaaaaaaaaa仍成等差数列.（23223m2m,2-mmmmmmmmSSSS-S，-S成等差数列，则（S-S）=S+（S）例1：在等差数列{}mna中，前项的和30，前2m项的和为100，试求它的前3m项和解：nn{a}nS记数列的前项和为，由等差数列前n项和的性质23223m2m,2-mmmmmmmmSSSS-S，-S成等差数列，则（S-S）=S+（S）22=3010070,mmmmSSS，得-S322=2-mmmmmSS-S（-S）S3=110+100=210mS（6）1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad，21()22nddSnan，例1：12{}a3,5,{}10nnaaa等差数列中，求的前项和例2：在等差数列49n{}9,6,=63nnaaaS中，若，求的值例3：122028,=84=460nnSS等差数列{a}的前n项和为S若S，，求例4：n已知等差数列{a}的前5项和为25，第8项为15，求21项---等差数列16，12，8，......前几项和为72？(7)若mnpq，则mnpqaaaa；若2pqm，则2pqmaaa,()0pqpqaqappqa，,()()pqpqSqSppqSpq；mnmnSSSmnd.(8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；第3页共8页例1：12=10-3n......nnnaaaa已知{a}为等差数列，，求1230=0=-,......nnnnnnnnnaaaaaaaSaaaa解析：有正有负，当时，，当时，121)30......nnnnaSaaa时，，21()31722naannn123452)4a0,......nnnnSaaaaaa时，123122()(......)naaaaaa2317482nn例2：n=-3n+104n,annnaN已知数列{a}的通项公式求数列的前n项和T解：nnna=-3n+1040n34.6a0,35,a0，得，即当n34时，当nn121),=...nTaaa当n34时12...naaa2320522nSnn2)35当n时，n123435=......nTaaaaa34123536(...)(...)naaaaaa3412122(...)(...)naaaaaa342nSS22320532052(*34*34)()2222nn23205350222nn例3：等差数列149n0,,n=naSSS{a}中，则取最大值时，？（9）等差中项：若,,aAb成等差数列，则2abA叫做,ab的等差中项。（10）2n1n21b,=bnnnnnnSSTnTa设数列{a}，为等差数列，分别为其前项和，则第4页共8页例：8a2nb,=3n+1b8nnnnnnSnS已知等差数列{a}，的前项和分别为和T若，求T881158811522aaaabbbb11511515()215()2aabb15152?1530153?1514623ST（11）若项数为2n-1,21(),(21),-=a,=1nnnSnnNSnaSSSn奇奇偶偶则+2n121112nn=n(a+a)=n,,-=nd=nnnnnnnSaNaaaaSSSa奇奇偶偶若项数为，则S为中间两项，3.等比数列{}na中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。（2）11nnaaqnmmaq；（3）{||}na、{}nka成等比数列；{}{}nnab、成等比数列{}nnab成等比数列.（4）两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.（5）1211,,mkkkmaaaaaa成等比数列.（6）111111(1)(1)(1)(1)(1)1111nnnnnaqnaqSaaaaqaqqqqqqqq.（7）pqmnpqmnbbbb；22mpqmpqbbbmnmnmnnmSSqSSqS.（8）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；（9）并非任何两数总有等比中项.仅当实数,ab同号时，实数,ab存在等比中项.对同号两实数,ab的等比中项不仅存在，而且有一对Gab.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时)。（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法第5页共8页11）连续m项的和（232,mmmmmSSS-S，-S….）仍成等比数列，注意：这连续m项的和必须非零才能成立。若项数为2n时，则=,SqS偶奇nmnnmSSqS例：一个项数为偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式设数列1{a}a,nqSS的首相为公比为，全部奇数项，偶数项和分别记偶、奇，由题意知：+=4SSS偶奇偶13SqS偶数列项数为偶数，奇211164qq又aaa3364aq112即a1n1a=12()3n故所求通项公式例：n11{a}a1,21,nnnaaa已知数列中，且求解：121nnaa1+1=21nnaa（）{1}na则数列是公比为2的等比数列，111+1=a+1q2nnna（）21nna例：n24354635{a}0,225,+=?naaaaaaaaa已知数列是等比数列，且求2222435463355352225+25aaaaaaaaaaaa即()350+=5naaa4.等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列5.数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式③1123(1)2nnn，22221123(1)(21)6nnnn，2135(21)nn，2135(21)(1)nn.例：1.1111,,,...n13355779求的前项和第6页共8页111a()(21)(21)2(21)(21)nnnnn11111111(1...)233557(21)(21)nSnn11(1)22121nnn2.111,,+...n123234345求的前项和1111a[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnnn111111111[...]2122323343445(1)(1)(2)nSnnnn111[]212(1)(2)nn(3)4(1)(2)nnnn（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例(1)(2)...()naaan求和2(1)1)1(1)(2)...()=-1-2-...-(n-1)=-2nnnaaaan当时，222)1(1)(2)...()=++...++++...+nnnaaaanaaa当时，（）（12）(1)(1)12naanna=（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n和公式的推导方法之一）.n9a=n,{a}nS10nnn已知数列（+1）()求的前项和第7页共8页299923...(1)101010nnSn()()910nS231999923...(1)10101010nnnn()()()()231199999=+[...]-(1)10510101010nnnSn两式相减，得()()()()1198199[1](1)5101010nnn()()1999(11)1010nn()9999(11)10nnSn()(5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1nnnn②1111()()nnkknnk，③1111[](+1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn例：1.1111,,,...n13355779求的前项和111a()(21)(21)2(21)(21)nnnnn11111111(1...)233557(21)(21)nSnn11(1)22121nnn2.111,,+...n123234345求的前项和1111a[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnnn111111111[...]2122323343445(1)(1)(2)nSnnnn111[]212(1)