高一数学必修一函数的表示法

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高一数学必修一函数的表示法1.2函数及其表示§1.2.2函数的表示法2—函数的值域教学目的:1.掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);掌握二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法.2.培养观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力;教学重点:值域的求法奎屯王新敞新疆教学难点:二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法奎屯王新敞新疆教学过程:一、复习引入:函数的三要素是:定义域、值域和定义域到值域的对应法则;对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系),定义域是函数的重要组成部分(对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数);定义域和对应法则一经确定,值域就随之确定奎屯王新敞新疆函数的表示方法⑴解析法优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法:优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.前面我们已经学习了函数定义域的求法和函数的表示法,今天我们来学习求函数值域的几种常见方法奎屯王新敞新疆二、讲解新课:1.直接法:利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0},值域为{y|y0};二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R,当a0时,值域为{abacyy4)4(|2};当a0时,值域为{abacyy4)4(|2}.例1.求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②xxf42)(③1xxy④xxy1奎屯王新敞新疆解:①∵-1x1,∴-33x3,∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5]②∵),0[4x∴),2[)(xf奎屯王新敞新疆即函数xxf42)(的值域是{y|y2}奎屯王新敞新疆③1111111xxxxxy∵011x∴1y即函数的值域是{y|yR且y1}(此法亦称分离常数法)奎屯王新敞新疆④当x0,∴xxy1=2)1(2xx2,当x0时,)1(xxy=-2)1(2xx2奎屯王新敞新疆∴值域是]2,([2,+).(此法也称为配方法)函数xxy1的图像为:2.二次函数比区间上的值域(最值):例2求下列函数的最大值、最小值与值域:①142xxy;②]4,3[,142xxxy;③]1,0[,142xxxy;④]5,0[,142xxxy;解:∵3)2(1422xxxy,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,∴x=2时,ymin=-3,无最大值;函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4],当x=3时,y=-2;x=4时,y=1;∴在[3,4]上,miny=-2,maxy=1;值域为[-2,1].③∵顶点横坐标2[0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,∴在[0,1]上,miny=-2,maxy=1;值域为[-2,1].④∵顶点横坐标2[0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3,x=5时,y=6,∴在[0,1]上,miny=-3,maxy=6;值域为[-3,6].4321-1-2-3-4-6-4-2246y=xo-2-112fx=x+1x321-1-2-3654321-1-2xOy注:对于二次函数)0()(2acbxaxxf,⑴若定义域为R时,①当a0时,则当abx2时,其最小值abacy4)4(2min;②当a0时,则当abx2时,其最大值abacy4)4(2max.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若0x[a,b],则)(0xf是函数的最小值(a0)时或最大值(a0)时,再比较)(),(bfaf的大小决定函数的最大(小)值.②若0x[a,b],则[a,b]是在)(xf的单调区间内,只需比较)(),(bfaf的大小即可决定函数的最大(小)值.注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3.判别式法(△法):判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论奎屯王新敞新疆例3.求函数66522xxxxy的值域方法一:去分母得(y1)2x+(y+5)x6y6=0①当y1时∵xR∴△=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)0由此得(5y+1)20奎屯王新敞新疆检验51y时2)56(2551x(代入①求根)∵2定义域{x|x2且x3}∴51y再检验y=1代入①求得x=2∴y1综上所述,函数66522xxxxy的值域为{y|y1且y51}方法二:把已知函数化为函数36133)3)(2()3)(2(xxxxxxxy(x2)由此可得y1奎屯王新敞新疆∵x=2时51y即51y∴函数66522xxxxy的值域为{y|y1且y51}奎屯王新敞新疆说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4.换元法例4.求函数xxy142的值域解:设xt1则t0x=12t代入得tttfy4)1(2)(24)1(224222ttt∵t0∴y45.分段函数例5.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1:将函数化为分段函数形式:)2(12)21(3)1(12xxxxxy,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y3}.解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+].如图O12-1xO12-1xO12-1x两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法.说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法.三、练习:1)0(9122xxxy;解:∵x0,11)1(91222xxxxy,∴y11.另外,此题利用基本不等式解更简捷:11929122xxy2-13xOy234252xxy∵22x-4x+30恒成立(为什么?),∴函数的定义域为R,∴原函数可化为2y2x-4yx+3y-5=0,由判别式0,即162y-4×2y(3y-5)=-82y+40y0(y0),解得0y5,又∵y0,∴0y5.注意:利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.3求函数的值域①xxy2;②242xxy解:①令xu20,则22ux,原式可化为49)21(222uuuy,∵u0,∴y49,∴函数的值域是(-,49].②解:令t=4x2x0得0x4在此区间内(4x2x)max=4,(4x2x)min=0∴函数242xxy的值域是{y|0y2}四、小结本节课学习了以下内容:求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法.五、补充:求函数y=1122xxxx值域解:∵04343)21(122xxx,∴函数的定义域R,原式可化为1)1(22xxxxy,整理得01)1()1(2yxyxy,若y=1,即2x=0,则x=0;若y1,∵xR,即有0,∴0)14(-)1(22y-y,解得331y且y1.综上:函数是值域是{y|331y}.高一函数同步练习(定义域、值域)选择题1.函数y=2122xxxx的定义域是()(A)x-21x}(B)x-21x}(C)xx2}(D)Rxx1}2.函数6542xxxy的定义域是(A){x|x4}(B)}32|{xx(C){x|x2或x3}(D)}32|{xxRx且3.函数y=122xx的值域是()(A)[0,+](B)(0,+)(C)(-,+)(D)[1,+]4.下列函数中,值域是(0,+)的是(A)132xxy(B)y=2x+1(x0)(C)y=x2+x+1(D)21xy5.)12(xf的定义域是1,0,则)31(xf的定义域是(A)]4,2((B)21,2(C)61,0(D)32,06.若函数y=f(x)的定义域为(0,2),则函数y=f(-2x)的定义域是()(A)(0,2)(B)(-1,0)(C)(-4,0)(D)(0,4)7.函数y=13xx的值域是()(A)(0,2)(B)[-2,0](C)[-2,2](D)(-2,2)二.填空题:1.函数y=1122xx的定义域是___________2.函数y=xxx224的定义域为3.函数y=-2x2-8x-9,x[0,3]的值域是_______.4.设函数y=f(x)的定义域是[0,2],则f(x-1)的定义域是_______5.函数2xxy的值域是;函数)11(2xxxy的值域是;函数21xxy的值域是。三.解答题1.求下列函数的定义域(用区间表示):(1)32xy;(2))1)(21(1xxy;(3)||)1(0xxxy;(4)51xxy.(5)22)25(4xxy2.求下列函数的值域(用区间表示):(1)322xxy;①Rx,②]4,1(x,③]4,1(x(2)22xxy;(3)5482xxy.答案选择题:ABADDBC二.填空题:1.{-1,1}2。[-2,-1)∪(-1,0)∪(0,1)∪(1,2]3.[-51,-9]4。[1,3]5.(-∞,1/4];[-2,1/4];(-∞,0)∪(1,+∞)三.解答题1.(1)[-2/3,+∞);(2)(-∞,-1)∪(-1,1/2)∪(1/2,+∞)(3)(0,1)∪(1,+∞)(4)(-∞,-5)∪(-5,1](5)[0,1]∪[4,5]2.(1)①[-4,+∞);②[-4,5];③(-4,5](2)[0,2/3](3)(0,8]

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