高一数学新课标B版必修一函数应用题归类分析

函数应用题归类分析我们已经学过一次函数、二次函数及分段函数，应用这些函数能解决我们遇到的许多实际数学问题，现归类如下。一能解决利润最大或效益最高问题例1、某售货点，从批发部批发某一种商品的进价是每份0.35元，卖不掉的商品还要以每份0.08元的价格退回批发部，卖出的商品的价格是每份0.5元，在一个月（30天）中，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，假设每天从批发部买进的商品的数量相同，则每天从批发部进货多少才能使每月所获得利润最大？最大利润是多少？分析：每月的利润=月总收入—月总成本，而月总收入有三部分：可每天卖出400份共20天的收入；可每天卖出250份的共10天的收入；没有卖出而退回批发部的商品的收入。解、设每天从批发部买进的数量为x份，易知250400x设每月的纯收入为y元，则由题意，得0.5200.525010(250)0.08100.3530yxx0.31050x250,400x因为一次0.31050yx函数0.31050yx在区间250,400x上为增函数，所以当400x时，函数0.31050yx取得最大值：0.340010501170y（元）答；当每天从批发部进货400分时，每月所获得利润最大，最大利润是1170元。点评：本题是一次函数模型的应用，对于利用一次函数来求最值，主要是利用其单调性来解决。例2、旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？解、设旅游团的人数为x人，飞机票为y元，依题意，得当130x时，900y；当3075x时，90010(30)101200yxx；所以所求函数为900(130)101200(3075)xyxx　　　　　　　　　　　设利润为Q，则290015000(130)1500010120015000(3075)xxQyxxxx　　　　　　　　　　　当130x时，max900301500012000Q，当3075x时，221012001500010(60)21000Qxxx，所以当60x时，max21000Q12000，答：当旅游团人数为60人时，旅行社可获得最大利润21000元。点评：本题是由一段一次函数、一段二次函数构成的分段函数的最值问题，对于分段函数的最值，应先在各自的定义域上求出各段的最值，然后加以比较，最后确定出最值。二能帮助选择最佳方案例3、某企业买劳保工作服和手套，市场价每套工作服53元，手套3元一副，该企业联系了两家商店，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：商店一：买一赠一，买一套工作服赠一副手套。商店二：打折，按总价的95℅收款。该企业需要工作服75套，手套若干（不少于75副）。若你是企业的老板，你选择哪一家商店省钱。分析：解决此问题的方法是先建立优惠条件的函数关系式，然后比较，当取相同值时，哪种函数值小，则哪种优惠条件最省钱，就选哪一家商店。解、设需要手套x副，付款数为y元，商店一的优惠条件：()75533(75)33750fxxxx　　　（７５）商店二的优惠条件：()75533)5gxx（９℅=2.853776.25xx　　　（７５）令()()xgxｆ，即337502.853776.25xx　=　，解得x=175即购买了175副手套时，两商店的优惠相同，令()()0.1526.25xgxxy=ｆ当75175x时，y0即()()xgxｆ，应选择商店一省钱。当175x时，y0即()()xgxｆ，应选择商店二省钱。综上可知：当麦175套手套适量商店的优惠相同，当买的手套数多于75而少于175时，选商店一省钱，当买的手套数多175时，选商店二省钱。点评：给出几种方案，通过计算比较，确定出最佳方案是这类问题的特点。三涉及几何问题中的最值例4、某单位计划用围墙围出一块矩形场地。现有材料可筑墙的总长度为l。如果要使围墙围出一块矩形场地的面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？分析：若设矩形的长为x，则宽为(2)2llx，从而矩形的面积为2(2)22llSxlxxx，是关于x的二次函数。解、设矩形的长为x，则宽为(2)2llx，从而矩形的面积为2(2)22llSxlxxx22416llx（02lx）由此可得，函数在4lx时取得最大值，且2max16lS，这是矩形的宽为224lxl即当这个矩形的边长为4l时，所围成的面积最大为216l，此时矩形为正方形。点评：对于求几何最值问题，应先建立函数关系式，然后再对函数求最值，还要回扣几何问题，特别应注意的是不要忽略定义域。四解决图表问题例5、如图所示是一次舞会的盈利额p同收票数n之间的关系图（其中保险部门规定：人数超过150人的时候，须交纳公安保险费50元），请你写出它的函数表达式，并对图像加以解释。P(n)·200·100·50··n100150200-100·-200·解、从途中观察的：当0150n时，图像通过(0,200)和(100,0)两点，则此时表达式为()2200Pnn当150200n时，图像右端点通过(200,200)左端点趋于点(150,50)，则此时表达式为()3400Pnn综上所述，得2200(0150)()3400(150200)nnPnnn　　　　　　从不同角度剖析图像，可以得到不同地解释。（1）当售票为零时舞场正常开放，要交付水电费、器材费等200元；（2）当100n时，可达到不赔不赚，当100n时，要赔本；（3）当100150n时，利润与售票数呈直线上升，150n时，达到最大值100元；（4）当150167n时，利润没有150n时多，即人数超过166人时，利润才能超过100元；（5）人数达到200人时，利润可达到最大值200元。点评：据图像建立关系式，再根据定义域与函数的单调性，将数学语言转化为实际问题中的个中情况进行解决。