高一数学新课标专题讲座之一集合

1高一数学新课标专题讲座（一）高一数学人教（新课标）专题一集合一、知识概述集合——近代数学最基本内容之一．主要内容有集合、子集、全集、补集、交集和并集．集合是我们掌握和使用数学语言的基础，也是我们学习后续内容的基础和工具.第一部分主要是学习集合的概念，表示方法等；后一部分在介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系的基础上，引出子集的概念以及集合的基本运算．二、重点知识归纳及讲解1．集合的有关概念一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素⑴集合中的元素具有以下的特性①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的.②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.（2）集合的元素：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ.（3）集合的分类：有限集与无限集.（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.2描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.使用描述法时，应注意六点：①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切.图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.如：A={1，2，3，4}例1、设集合A={a，a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},且A=B，求实数c值．分析：欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b=ac2，（2）a+b=ac2且a+2b=ac两种情况．解析：（1）a+b=ac且a+2b=ac2，消去b得：a+ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．（2）a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴2c2－c－1=0，即c=1或，但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，∴．点评：两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真．（5）常用数集及专用记号3①非负整数集（或自然数集）N={0，1，2，……}②正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……}③整数集Z={0，±1，±2，……}④有理数集Q={整数与分数}⑤实数集R={数轴上的点所对应的数}.强调：实数集不可记为{R}或{实数集}，0≠≠{}，≠{0}，≠{空集}.强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R＋、Z＋、Q＋．2．基本运算（1）交集①定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作，即{，且}②交集的图示上图阴影部分表示集合A与B的交集．③交集的运算律，，，（2）并集4①定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作，即{，或}②并集的图示以上阴影部分表示集合A与B的并集．③并集的运算律，，，（3）补集①定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）.记作，即CSA=②补集的图示（4）常用性质AA=A，AΦ=Φ，AB=BA，ABA，ABB．AA=A，AΦ=A，AB=BA，ABA，ABB．，，5例2、集合{，且}，AU，BU，且{4，5}，{1，2，3}，{6，7，8}，求集合A和B．分析：利用集合图示较为直观．解：由{4，5}，则将4，5写在中，由{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，由{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，由与中均无9，10，则9，10在B中，故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．（5）容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)．三、难点知识剖析1、要注意区分一些容易混淆的符号（1）与的区别：表示元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；表示集合与集合之间的关系，例如NR，等．（2）a与{a}的区别：一般地，a表示一个元素，{a}而表示只有一个元素a的集合．例如，0{0},{1}{1,2,3}等，不能写成0={0}，{1}{1,2,3}，1{1,2,3}．（3）{0}与Φ的区别：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，因此Φ{0}但不能写成Φ={0}，Φ{0}．6例3、已知集合M={x|x≤3}，集合P={x|x2}，设，则下列关系式中正确的一个是（）A、P∈MB、a∈MC、PMD、{a－3}P解析：集合M、P都是部分实数组成的集合，而a是一个具体的实数，故M、P间的关系应用“包含”，“不包含”来确定，而对a与集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来确定，比较实数的大小，易判断C正确.小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键．2．理解集合所表示的意义（1）对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．如{yR|y=}表示的为函数y=中y的取值范围，故{yR|y=}={yR|y};而{xR|y=}表示y=的x的取值范围，故{xR|y=}=R．（2）用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或韦恩图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用韦恩图表示，容易被忽视，如在关系式BA中，易漏掉B=Φ的情况．例4、设A=，B=（1）若AB=B，求的值；（2）若AB=B，求的值．分析：明确AB=B和AB=B的含义，根据问题的需要，将AB=B和AB=B转化为等价的关系式：和，是解决本题的关键．解析：首先化简集合A，得A={-4，0}（1）由于AB=B，则有可知集合B或为空集Φ，或只含有根0或-4．7①若B=Φ，由得②若，代入得：，当时，B=，合题意．当时，B=，也符合题意．③若，代入得：，当时，②中已讨论，合题意当时，B=不合题意．由①、②、③得，．（2）因为AB=B，所以，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．由（1）知，【点评】：一般对于AB=B和AB=B这种类型的问题，都要注意转化为等价的关系式：和，且在包含关系中，注意不要漏掉B=的情况．并且当A、B中的元素的个数相同时，还存在或的情况时，只有A=B这一种情况．集合检测一、选择题1．在以下六个写法中：①{0}∈{0，1}；②{0}；③{0，－1，1}{－1，0，1}；④0∈；⑤Z={全体整数}；⑥{(0，0)}={0}.其中错误写法的个数是（）8A．3个B．4个C．5个D．6个2．已知集合M={a，b，c}中的三个元素是一个三角形的三边长，那么此三角形一定不是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形3．集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B的元素个数为（）A．10个B．8个C．18个D．15个4．设全集U={x|x2－3x＋2=0}，A={x|x2－px＋q=0}，若，则（）A．p2－4q0B．p2－4q=0C．p2－4q=1D．p2－4q15．设集合，，且，则满足条件的实数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个.6．满足条件{1，2}{1，2，3，4，5}的集合M的个数是（）A．3个B．6个C．7个D．8个7．已知a，b，c为非零实数，代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（）A．0MB．－4MC．2∈MD．4∈M8．满足条件的所有集合A的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．满足A∪B={a，b}的集合A，B的不同情形有（）A．4组B．5组C．8组D．9组10．设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P={x|xM且xP},则M－（M－P）等于（）9A．PB．MPC．MPD．M二．填空题11．已知A={x∈R|x－1或x5}，B={x∈R|a≤xa＋4}，若AB，则实数a的取值范围是__________.12．集合P=，Q=，则A∩B=________________．13．已知集合P={x|ax＋b－x＋2=0}是无限集，则实数a、b的取值是=_______________．14．已知U=则集合A=_____________．三．解答题15．已知集合A={x,y,1}，集合B={x，x2，xy}，且A=B，求实数x,y的值．16．已知集合A=（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．17．已知集合A={x∈R|x2＋x＋p＋2=0}，若A∩R*=，求实数p的取值范围，其中R*={x∈R|x0}．18．已知A={x|x2－3x＋2=0}，B={x|x2－ax＋(a－1)=0}，C={x|x2－3x＋m=0}，且A∪B=A，B∩C=C，求a，m的取值范围.答案及提示：1-10BDDCCCDDDB1、仅②③正确．2、由集合中元素的互异性可知．3、card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)，可知所求集合个数为10+8-3=15.104、A与U的元素都是二次方程的根，，故知A=U.5、当时，解得x=,经检验得两值都符合题意；，可得x=0、1，而由集合中元素的互异性可知x=1不合题意，舍去，所以满足条件的实数x为,1共3个．6、M包含元素1，2，所以求{3，4，5}的非空子集的个数．7、分a，b，c同正、同负、二正一负、一正二负4种情况讨论．8、由题意可知A，故A可为、、、共4个．9、分四大类：（1）A=时，B={a，b}；（2）A={a}时，B={b}，B={a，b}；（3）A={b}时，B={a}或B={a，b}；（4）A={a，b}时，B=，或B={a}，或B={b}，或B={a，b}．10、这是一道具有新的定义的集合运算问题，关键是将M－P用熟悉的交、并、补运算表示，根据差集定义“xM且xP”等价于“xM”，故或者用韦恩图也可较为简便地得出结果．11、答案：{a|a≤－5或a5}提示：由子集定义，a5或a＋4≤－1．12、答案：提示：实际上求的解集，为，注意表示方式要正确．13、答案：a=1，b=－2提示：若a≠1，则P为方程(a－1)x=－b－2的解组成的集合，只有一个元素；若a=1，且b≠－2，则P=；若a=1，且b=-2,P=R.1114、答案：提示：由题意可画出如图的韦恩图，由图可得A=15、首先，x≠0，且x≠1．（1）若x2=1，则x=－1，y=xy=-y，∴y=0，检验适合．（2）若xy=1，则y=，又y=x2，x2=，即x3=1，与x≠1矛盾．综上x=－1，y=0．16、（1)若A为空集，则得a（2）当a=0，A仅有一个元素；当a0时由得a=；（3）当a=0，A仅有一个元素，当a0时，若使A中至多只有一个元素，则，解得a≥．故a=0或a≥．17、本题集