高一数学校本教材

课题：数学在生活中的应用编者郑家欢高自山本课题分三个部分：1、分段函数模型在实际问题中的应用2、概率在生活中的应用3、函数在现实生活中的应用第一部分：分段函数在实际问题中的应用数学应用意识的考查是高考命题的指导思想，考查应用意识是通过解答应用问题来体现的，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实生活的背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。我们会遇到如关于醉酒驾车问题、工作安排问题、学生听课注意力问题、通讯话费问题、阶梯电价问题、计程车计费问题、停车费问题、邮资问题、个人所得税等诸如此类问题，本文就分段函数模型在几种实际问题中的应用举例加以说明。一、醉酒驾车问题举例1.某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小实际问题(核心)数学模型(关键)还原说明(验证)模型的解(目的)分析模型(重点)时)变化的规律近似地满足表达式f(x)=1,10,531532xxxx。《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车。(精确到1小时)分析:本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式求解。解析:当0≤x≤1时,f(x)为增函数，f(x)≥50-2=0.040.02；当x1时,f(x)=x3153≤0.02得x31≤301，3x≥30,33=2730,34=8130,x≥4,故该驾驶员至少要过4小时后才能开车.二、工作安排问题举例2.某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件。设加工A型零件的工人人数为x名(Nx).⑴分别用含x的式子表示完成A型零件加工所需时间和完成B型零件加工所需时间；⑵为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值?解析:⑴生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间f(x)=491,905450xNxxx.生产150件产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间g(x)=491,5050503150xNxxx.(2)设完成全部生产任务所需时间为h(x)小时，则h(x)为f(x)与g(x)的较大者。令f(x)≥g(x)，即x90≥x5050，解得1≤x≤3271.所以当1≤x≤32时，f(x)g(x)，当33≤x≤49时，f(x)g(x)。故h(x)=4932,,321,,505090xNxxNxxx。当1≤x≤32时，h(x)在[1,32]上单调递减，则h(x)在[1,32]上的最小值为h(32)=16453290(小时)，当33≤x≤49时，故h(x)在[33，49]上单调递增，则h(x)在[33，49]上的最小值为h(33)=1750335050(小时).因为h(33)h(32)，所以h(x)在[1,49]上的最小值为h(32).所以x=32.故为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取32.点评:本题主要考查分段函数，反比例函数及其性质等基本知识，同时考查数学建模能力及应用意识。本题的理解有一定难度。三、学生听课注意力问题举例3.通过研究学生的学习行为，心理学专家发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过试验分析得知:f(t)=40203807)2010(240)100100242tttttt(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(2)讲课开始25分钟与讲课开始5分钟时，学生的注意力哪时更集中?(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?解析:(1)当0t≤10时,f(t)=-t2+24t+100=-(t-12)2+244是增函数，且f(10)=240.当10t≤40时,f(t)=-7t+380,是减函数，且f(20)=240.所以，讲课开始10分钟学生的注意力最集中，能持续10分钟.(2)f(5)=195，f(25)=205，故讲课开始25分钟时学生的注意力比讲课开始5分钟时更集中(3)当0t≤10时,f(t)=-t2+24t+100=180，则t=4；当10t≤40时,f(t)=-7t+380=180，t≈28.57，则学生的注意力在180以上所持续的时间28.57-4=24.5724.所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。四、商品利润最大问题举例4.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，设月产量为x，已知总收入满足函数:R（x）=40080000,4000400221xxxx(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)每月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收入=总成本+利润)分析:本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式来求新的表达式可求得第(1)小题，然后利用配方法和单调性求解最值。解析:(1)月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而f(x)=40010060000,400020000300221xxxxx(3)当0≤X≤400时,f(x)=-21(x-300)2+25000.当X400时,f(x)=60000-100x是减函数,f(x)60000-100×40025000.故每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.评注:本题主要是根据题设条件给出的函数去求，但要注意分段求解，分段函数的最值求法注意取各段的最大(或者最小)者的最大者(最小者)为函数的最值。五、通讯收费问题举例5.有甲、乙两家通讯公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元；（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？解析：1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，当0≤t≤100时，话费金额y=20；当t＞100时，话费金额y是通话时间t的一次函数，不妨设y=kt+b，且函数经过点（100，20）和（200，40），所以，4020020100bkbk,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t,所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；2)仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,当0≤t≤100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以,李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算；因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；因为，0.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500，所以，当通话时间100＜t＜500分钟时，选择甲公司；因为，0.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500，所以，当通话时间t＞500分钟时，选择乙六、生活中的用水用电问题举例6.为了鼓励节能降耗,某市规定如下用电收费标准:每户每月的用电量不超过120度时,电价为a元/度;超过120度时,不超过部分仍为a元/度,超过部分为b元/度.已知某用户五月份用电115度,交电费69元,六月份用电140度,交电费94元.(1)求a,b的值;(2)设该用户每月用电量为x(度),应付电费为y(元).①分别求出0≤x≤120和x120时,y与x之间的函数关系式;②若该用户计划七月份所付电费不超过83元,问该用户七月份最多可用电多少度?解析：115a=69,120a+20b=94.解这个方程组,得a=0.6，b=1.1.(2)①当0≤x≤120时,y=0.6x.当x120时,y=120×6+1.1(x2120),0.即y=1.1x260.②∵120×0.6=72,∴y与x之间的函数83关系式为y=1.1x260.由题意,得1.1x260≤83,x≤130.∴该用户七月份最多可用电130度.七、生活中的医疗保险问题举例7.为了增强农民抵御大病风险的能力,政府积极推行农村医疗保险制度.我市某县根据本地的实际情况,制定了纳入医疗保险的农民住院医疗费用的报销规定:享受医保的农民可在定点医院住院治疗,由患者先垫付医疗费用,住院治疗结束后凭发票到县医保中心报销.住院医疗费用的报销比例标准如下表:费用范围100元以下(含100元)100元以上的部分报销比例标准不予报销60%(1)设某位享受医保的农民在一次住院治疗中的医疗费用为x元(x100),按规定报销的医疗费用为y元,试写出y与x的函数关系式;(2)若该农民在这次住院治疗中的医疗费用为1000元,则他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为多少元.解:(1)y=(x2100)×60%=0.6x260(x100)(2)当x=1000元时,y=0.6×1000260=600260=540(元)10002540=460(元)答:他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为540元和460元。分段函数是高中数学的重要内容，涉及分段函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活．同时，应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质，因此在数学教学中倍受青睐．第二部分：概率在生活中的应用一、绪论由于新课程强调数学教育的基础性、现实性、大众性，重视素质教育高考的兼容性，概率统计在社会现实中具有很高的应用价值。概率在生活中无处不有，无处不在的，要用学生熟悉、感兴趣的生活实际问题设计出丰富多彩的学习活动，使学生积极、主动地学习和运用数学。在有关概率的题目中，有的取材于，并要注意培养学生善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流。让学生感觉数学概率就发生在身边。本课题主要从概率的起源、概率的相关概念、概率在现实中的应用以及结论几部分构成。其中，第二部分说的是概率源于博弈成科学，第三部分主要说的是概念问题，并强调了一些注意事项及和频率的区别和联系；第四部分举例讲述了概率在现实中的应用；第五部分做了相应的总结分析。二、概率的起源概率问题的历史可以追溯到很远,很早以前,人们就用抽签、抓阄的方法解决问题,这可能是概率最早的应用.而真正研究随机现象的概率论出现在15世纪之后,当时的保险业非常不成熟,只是一种完全靠估计形势而出现的赌博性事业,保险公司要承担很大的不确定性风险,保险业的发展渴望能有指导保险的计算工具的出现.这一渴望戏剧性地因15世纪末赌博现象的大量出现而得到解决.据传,当时有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题:梅勒和他的一个朋友每人出30个金币,两人谁先赢满三局谁就得到全部赌注.在游戏进行了一会儿后,梅勒赢了两局,他的朋友赢了一局.这时候梅勒由于一个紧急事情必须离开,游戏不得不停止.他们该如何分配赌桌上的60个金币的