高一数学必修4综合能力测试

本册综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α＝－3，则α是第()象限角．()A．一B．二C．三D．四[答案]C[解析]∵－π－3－π2，∴－3为第三象限角．2．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为()A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．16cm2[答案]A[解析]由题意得2r＋l＝8，l＝2r.解得r＝2，l＝4.所以S＝12lr＝4(cm2)．3．有三个命题：①向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D必在同一条直线上；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③单位向量都相等，其中真命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]A4．已知sinθ0，tanθ0，则1－sin2θ化简的结果为()A．cosθB．－cosθC．±cosθD．以上都不对[答案]B[解析]∵sinθ0，tanθ0，故θ为第三象限角，∴cosθ0.∴1－sin2θ＝cos2θ＝|cosθ|＝－cosθ.5．tan(－1560°)的值为()A．－3B．－33C.33D.3[答案]D[解析]tan(－1560°)＝－tan1560°＝－tan(4×360°＋120°)＝－tan120°＝－tan(180°－60°)＝tan60°＝3.6．已知α是锐角，a＝(34，sinα)，b＝(cosα，13)，且a∥b，则α为()A．15°B．45°C．75°D．15°或75°[答案]D[解析]∵a∥b，∴sinα·cosα＝34×13，即sin2α＝12又∵α为锐角，∴0°2α180°.∴2α＝30°或2α＝150°即α＝15°或α＝75°.7．已知sinαsinβ，那么下列命题中成立的是()A．若α，β是第一象限角，则cosαcosβB．若α，β是第二象限角，则tanαtanβC．若α，β是第三象限角，则cosαcosβD．若α，β是第四象限角，则tanαtanβ[答案]D[解析]可以结合单位圆进行判断．8．函数y＝sinx(π6≤x≤2π3)的值域是()A．[－1,1]B．[12，1]C．[12，32]D．[32，1][答案]B[解析]可以借助单位圆或函数的图象求解．9．要得到函数y＝3sin(2x＋π4)的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象()A．向左平移π4个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π8个单位D．向右平移π8个单位[答案]C10．已知a＝(1，－1)，b＝(x＋1，x)，且a与b的夹角为45°，则x的值为()A．0B．－1C．0或－1D．－1或1[答案]C[解析]由夹角公式：cos45°＝x＋1－x2·x＋12＋x2＝22，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.11．(2012·全国高考江西卷)若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝()A．－34B.34C．－43D.43[答案]B[解析]主要考查三角函数的运算，分子分母同时除以cosα可得tanα＝－3，带入所求式可得结果．12．设a＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b＝2cos213°－1，c＝32，则有()A．cabB．bcaC．abcD．bac[答案]A[解析]a＝sin62°，b＝cos26°＝sin64°，c＝32＝sin60°，∴bac.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若tanα＝3，则sinαcosα的值等于________．[答案]310[解析]sinαcosα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝31＋9＝310.14．已知：|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为π4，要λb－a与a垂直，则λ为________．[答案]2[解析]由题意a·(λb－a)＝0，即λa·b－|a|2＝0，∴λ·2×2×22－4＝0，即λ＝2.15．函数y＝sin(π3－2x)＋sin2x的最小正周期是________．[答案]π[解析]y＝sinπ3cos2x－cosπ3sin2x＋sin2x＝32cos2x＋12sin2x＝cos(2x－π6)，故T＝2π2＝π.16．已知三个向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，且A、B、C三点共线，则k＝________.[答案]－2或11[解析]由A、B、C三点共线，可得AB→＝λBC→，即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)，于是有方程组k＋6λ＝4，kλ－5λ＝－7，解得k＝－2λ＝1，或k＝11λ＝－76.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知tanα＝12，求1＋2sinπ－αcos－2π－αsin2α－sin25π2－α的值．[解析]原式＝1＋2sinαcosαsin2α－cos2α＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosαsin2α－cos2α＝sinα＋cosα2sinα－cosαsinα＋cosα＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1又∵tanα＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．[解析](1)f(x)＝2sin(π－x)cosx＝2sinxcosx＝sin2x∴函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由－π6≤x≤π2，知－π3≤2x≤π∴－32≤sin2x≤1∴f(x)在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.19．(本题满分12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，求：(1)a·b；|a＋b|；(2)a与b的夹角的余弦值．[解析](1)a＝3(1,0)－2(0,1)＝(3，－2)，b＝4(1,0)＋(0,1)＝(4,1)，a·b＝3×4＋(－2)×1＝10.∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋20＋|b|2＝13＋20＋17＝50，∴|a＋b|＝52.(2)cosa，b＝a·b|a||b|＝1013·17＝10221221.20．(本题满分12分)(2011～2012浙江调研)设向量α＝(3sin2x，sinx＋cosx)，β＝(1，sinx－cosx)，其中x∈R，函数f(x)＝α·β.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(θ)＝3，其中0θπ2，求cos(θ＋π6)的值．[解析](1)由题意得f(x)＝3sin2x＋(sinx＋cosx)·(sinx－cosx)＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－π6)，故f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(5分)(2)由(1)知，f(θ)＝2sin(2θ－π6)，若f(θ)＝3，则sin(2θ－π6)＝32.又因为0θπ2，所以－π62θ－π65π6，则2θ－π6＝π3或2θ－π6＝2π3，故θ＝π4或θ＝5π12.(9分)当θ＝π4时，cos(θ＋π6)＝cos(π4＋π6)＝cosπ4cosπ6－sinπ4sinπ6＝6－24.(12分)当θ＝5π12时，cos(θ＋π6)＝cos(5π12＋π6)＝cos(π－5π12)＝－cos5π12＝－cos(π4＋π6)＝－6－24.(15分)21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0，|φ|π2)的最大值为22，最小值为－2，周期为π，且图象过(0，－24)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间．[解析](1)∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的最大值为22，最小值为－2.∴A＝322，B＝22.又∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的周期为π，∴φ＝2πω＝π，即ω＝2.∴f(x)＝322sin(2x＋φ)＋22又∵函数f(x)过(0，－24)，∴－24＝322sinφ＋22，即sinφ＝－12.又∵|φ|π2，∴φ＝－π6，∴f(x)＝322sin(2x－π6)＋22.(2)令t＝2x－π6，则y＝322sint＋22，其增区间为：[2kπ－π2，2kπ＋π2]，k∈Z.即2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z.解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3.(k∈Z)所以f(x)的单调递增区间为[kπ－π6，kπ＋π3]，k∈Z.22．(本题满分12分)(2012·全国高考山东卷)已知向量m＝(sinx,1)，n＝(3Acosx，A2cos2x)(A0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(Ⅰ)求A；(Ⅱ)将函数y＝f(x)的图象像左平移π12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在0，5π24上的值域。[解析](Ⅰ)f(x)＝m·n＝3Acosxsinx＋A2cos2x＝32Asin2x＋A2cos2x＝Asin2x＋π6，则A＝6；(Ⅱ)函数y＝f(x)的图象像左平移π12个单位得到函数y＝6sin2x＋π12＋π6的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝6sin(4x＋π3)．当x∈0，5π24时，4x＋π3∈π3，7π6，sin(4x＋π3)∈－12，1，g(x)∈[－3,6]故函数g(x)在0，5π24上的值域为[－3,6]．