高一数学竞赛训练题

高一数学竞赛训练题(一)1.函数2log()341xfxx的值域是2．若,,abc是三个互不相等的实数，且满足关系式222221614,45bcaabcaa，则a的取值范围是3.若,ab是正实数，且2ab，则1111ab的最小值是4.已知0.80.9x，若将,,xxxxxx按从小到大的顺序排列，应当是,xxxxxx5.,是关于x的方程222(1)40xmxm的两个实根，设22y，则()yfm的解析式是，值域是6.方程216log0xx的解是;使不等式2log0mxx在1(0,)2上恒成立的m的取值范围是7.若函数22()log(212)(0,1)afxxaxaaa在R上的最大值是2，则a=，()fx的单调递增区间是。8．设321,,xxx是方程013xx的三个根，则535251xxx的值为9．函数741)(2xxxxf的值域为．10．函数()ln|1|3fxxx的零点个数为（）A．0B．1C．2D．311．设222221Sxxyyx，其中,xRyR，则S的最小值为（）A．1B．1C．34D．012．已知定义域为R的函数()yfx对任意xR都满足条件4fxfx（）+（）=0与22fxfx（）（）=0，则对函数()yfx，下列结论中必定正确的是．①()yfx是奇函数；②()yfx是偶函数；③()yfx是周期函数；④()yfx的图象是轴对称的．13．()yfx是定义域为R的函数，(1)5gxfxfx（）（），若函数ygx（）有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为．14．已知函数()yfn满足：(1)f为正整数，(),(),(1)23()1,(),fnfnfnfnfn为偶数为奇数如果(1)(2)(3)29fff，则(1)f．15．设)3(log)2(log)(axaxxfaa，其中0a且1a．若在区间]4,3[aa上1)(xf恒成立，求a的取值范围．16．设函数2()3fxxbx，对于给定的实数b，()fx在区间2,2bb上有最大值()Mb和最小值()mb，记()()()gbMbmb．⑴求()gb的解析式；⑵问b为何值时，()gb有最小值？并求出()gb的最小值．17.定义在正实数集上的函数()fx满足下列条件：①存在常数a）（10a，使得1)(af；②对任意实数m,当xR时，有()()mfxmfx．⑴求证：对于任意正数,xy，()()()fxyfxfy；⑵证明：()fx在正实数集上单调递减；⑶若不等式28log42log(4)3aafxfx恒成立，求实数a的取值范围．参考答案1.(,1]2.(1,)3.14.15.25()2812,[4,)2fmmmm8.－59.6[0,]610D．11B.12.①③13.814.516解：⑴22()324bbfxx，抛物线开口向上，其对称轴方程为2bx，下面就对称轴与区间2,2bb端点的相对位置分段讨论：……………….………………………..1分①当403b时，222bbb且(2)(2)22bbbb，此时2()(2)261Mbfbbb，2()34bmb．29()644gbbb．…3分②当403b时，222bbb且(2)(2)22bbbb，此时2()(2)261Mbfbbb，2()34bmb．29()644gbbb．…5分③当43b时，22bb，()fx在区间2,2bb上递增，此时2()(2)261Mbfbbb，2()(2)261mbfbbb．()12gbb．…7分④当43b时，22bb，()fx在区间2,2bb上递减，此时2()(2)261Mbfbbb，2()(2)261mbfbbb．()12gbb．…9分综上所得22412,;39464,0;43()9464,0;43412,.3bbbbbgbbbbbb………………………………………………10分⑵当43b时，4()12163gbbg；…………………………………………11分当403b时，29()644gbbb递减，()(0)4gbg；…………..….……13分当403b时，29()644gbbb递增，()(0)4gbg；…………....………15分当43b时，4()12163gbbg．……………………………………..………16分综上所述，当0b时，min()4gb．…………..…………………………………17分17⑴证明：,xy均为正数，且01a，根据指数函数性质可知，总有实数,mn使得nmayax,，于是nmafnmafaafxyfnmnm，..…2分又()()()()mnfxfyfafamfanfamn，)()()(yfxfxyf..5分⑵证明：任设2121,,xxRxx，可令121ttxx，(0)ta．…………….7分则由⑴知222221xftfxfxftxfxfxf0ftfafa，………………………………………………………..9分即12fxfx．()fx在正实数集上单调递减；..……………………………..10分⑶解：令log(4)axt，原不等式化为2283ftft，其中0t．1()()()()fxfyfxfyxfy且()1(01)faa，不等式可进一步化为2328tffat，……………………….……..12分又由于单调递减，2328tat对于0t恒成立．……………………..13分而222121228822tttt，………………….……….…..15分且当2t时2min21822tt．……………………………………..16分3122a，又01a，终得202a．…………………………..18分解22225()log(56)log[()]24aaaafxxaxax．由,03,02axax得ax3，由题意知aa33，故23a，从而53(3)(2)022aaa，故函数225()()24aagxx在区间]4,3[aa上单调递增.------------------------------------------5分（1）若10a，则)(xf在区间]4,3[aa上单调递减，所以)(xf在区间]4,3[aa上的最大值为)992(log)3(2aaafa．在区间]4,3[aa上不等式1)(xf恒成立，等价于不等式1)992(log2aaa成立，从而aaa9922，解得275a或275a．结合10a得10a．------------------------------------------10分（2）若231a，则)(xf在区间]4,3[aa上单调递增，所以)(xf在区间]4,3[aa上的最大值为)16122(log)4(2aaafa.在区间]4,3[aa上不等式1)(xf恒成立，等价于不等式1)16122(log2aaa成立，从而aaa161222，即0161322aa，解得4411344113a．易知2344113，所以不符合．------------------------------------------15分综上可知：a的取值范围为(0,1)．------------------------------------------20分