高一数学竞赛试题2

高一数学竞赛试题2一、选择题：本大题共12小题；每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把符合题目要求的选项的字母填入答题卡中．1．集合||23|5,xxxZ｛｝中所有元素之和为（A）－6（B）－5（C）5（D）62．设全集}5,4,3,2,1{I，}4,3,2,1{A，}5,4,3{B，则(I)A(I)B（A）Ø（B）{1，2}（C）{1，2，5}（D）I3．已知p、q为两个命题，则“p或q真”是“p且q真”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4．已知函数)(xf=2xbxc在区间),0(上是增函数，则b满足的条件是（A）0b（B）0b（C）0b（D）与c的取值有关5．函数1(2)yxx的反函数是（A）21()yxxR（B）21(0)yxx（C）21(1)yxx（D）21(0)yxx6．已知,65,0622xxUxx则U的值域是（）（A）[0，20]（B）[41，)（C）1[,0]4（D）1[,20]47．在对数式)5(log)2(aba中，实数a的取值范围是（A）25aa或（B）52a（C）2335aa或（D）43a8．已知等差数列}{na满足0101321aaaa，则有（A）01011aa（B）01002aa（C）0993aa（D）5151a9．已知等差数列{an}的公差d＝21，a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a95＋a97＋a99=60，则a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋…＋a96＋a98＋a100等于（A）80（B）85（C）95（D）11010．方程022nmxx有实根，且2、m、n为等差数列的前三项．则该等差数列公差d的取值范围为（A）(,643]（B）[643,)（C）[643,643]（D）(,643][643,)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．11．不等式111x的解集是．12．在数列｛an｝中，an＝cnbna，其中a、b、c均为正常数，则这个数列的单调性是.13．从集合},,{Acba＝到集合}3,2,1{B的映射的个数为．14．已知21(0)()2(0)xxfxxx，若f(x)=10,则x＝.高一数学竞赛试题2一、选择题题号12345678910答案二、填空题11、；12、；13、；14、.三、解答题：本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15、(本小题满分12分)解不等式：0≤5322xx．16、（本小题满分12分）已知全集RU，集合}082|{2xxxA，2|{xxB}032x，axxxC3|{2}022a，求实数a的取值范围：（1）使BAC；（2）使CUA∩UB.17、（本小题满分12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：21400(0400)R()280000(400)xxxxx，其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数)(xf；（2）当月产量x为何值时，公司获利润最大？最大利润为多少元？18、(本小题满分12分)函数)(xf对任意的m，n∈R都有1)()()(nfmfnmf，且当x＞0时，1)(xf.（1）求证：)(xf在R上是增函数；（2）若4)3(f，解不等式2)5(2aaf.19、（本小题满分12分）等差数列}{na的公差是负数，且25348,7aaaa．（1）求na；（2）问2003是否是数列｝｛||na中的项，如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．20、（本小题满分14分）已知数列}{na中，11a，25a，114()nnnaaa.（1）设nnnac2，求证：}{nc是个等差数列，（2）求数列}{na的通项公式．高一数学竞赛试题2一、选择题：本大题共12小题；每小题6分，共60分．题号12345678910答案ACBACDCCBD二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．11．{|12}xx12．单调递增13．2714．－3或5三、解答题：15、解：原不等式等价于不等式组53203222xxxx………………………………2分由①得)3)(1(xx≥0,∴①的解集是}31|{xxx或；………………………………………………………………6分由②得0822xx，即0)2)(4(xx，∴②的解集是}42|{xx.…………………………………………………………………10分∴原不等式的解集是}4312|{xxx或－．…………………………………………12分16、解：}42|{xxA，3|{xxB或}1x……………………………………2分（1）}41|{xxBA，又2223aaxx＜0，即,0)2)((axax且BAC，∴0a，即}2|{axaxC由此得a≥1且a2≤4，∴21a；……………4分又0a时，C=Φ，满足题设，∴使BAC成立时a的取值范围是[1，2]∪{0}.………………………………………6分（2）∵UA∩UB＝U(A∪B)＝3|{x≤x≤}2，且CUA∩UB，由此得232aa且232a.…………………………………………………………10分∴使CUA∩UB成立时，a的取值范围是（－2，－23）.………………………12分①②17、解：（1）依题意，总成本应为20000＋100x，从而2130020000(0400)()260000100(400)xxxfxxx…………………………………………6分（2）当0≤x≤400时，25000)300(21)(2xxf∴当x=300时，)(xf有最大值25000；……………………………………………………8分当x400时，xxf10060000)(是减函数，∴2500040010060000)(xf．∴当x=300时，)(xf的最大值为25000．………………………………………………11分答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．………………………12分18、证明：（1）设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.…………………2分而)(1)()()(])[()()(1112111212xfxfxxfxfxxxfxfxf01)(12xxf∴)(xf是R上的增函数；……………………………………………………………………6分解：（2）f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)－1=f(1+1)+f(1)－1=f(1)+f(1)－1+f(1)－1=3f(1)－2.∵4)3(f，即3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2……………………………………………………8分∴不等式即为)1()5(2faaf，又)(xf是R上的增函数，∴152aa………………………………………………10分解得：－3＜a＜2.∴不等式的解集为{x|－3a2}.………………………………………………………………12分19、解：（1）由34252578aaaaaa及得，2a，5a是方程2780xx的两个根，又∵等差数列}{na的公差是负数，∴25aa∴258,1aa，公差521()33daa，………………………………………………4分∵21aad，∴111a，…………………………………………………………………5分从而11(1)(3)314nann；…………………………………………………6分（2）由题意可知14314|||143|3144nnnannn……………………………9分假设2003是数列{||}na中的项，当14n时，||na＝14－3n＝2003，n＜0，不合题意，当n＞4时，||na＝3n－14＝2003，解得n＝20173N*，综上可知，2003不是数列{||}na中的项………………………………………………………12分20、证明：(1)已知114()nnnaaa.两边同除以2n+1，得11112222nnnnnnaaa……………………………………………3分由于nnnac2，即112nnnccc，∴11nnnncccc，……………………………………………………………………6分故数列}{nc为等差数列.………………………………………………………………………8分（2）∵11a，25a由（1）可知1nncc＝……＝21212122aacc＝34，…………………………………10分∴}{nc是以43为公差的等差数列,且21211ac,∴)13(41)1(4321nncn.…………………………………………………………12分又nnnac2，故：2nnnac＝2(31)2nn.……………………………………………………………14分