《分式的基本性质》典型例题

《分式的基本性质》典型例题例1下列分式的变形是否正确，为什么？（1）2aabab（2）acbcab例2写出下列等式中的未知分子或未知分母。（1）322)(baabba（2）)(111232aaaa例3不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.（1）yxyx02.05.03.02.0（2）yxyyx324112.0例4不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.（1）32211aaaa（2）2332xxx例5已知不论x取什么数时，分式53bxax（05bx）都是一个定值，求a、b应满足的关系式，并求出这个定值.例6已知一个圆台的下底面是上底面的4倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为P牛顿/2米，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？例7不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“－”号：例8不改变分式的值，使分式yxyx4.05.03121的分子、分母中的多项式的系数都是整数．例9判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：（1）bbaa11；（2）bababa122；（3）xxxxxx2222323；（4）baabba122．例10化简下列各式：（1）323453baba；（2）bbaa821624；（3）62332222xxxxxxxx参考答案例1分析分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量，0M是基本性质的生果组成部分，应特别注意.解（1）∵已知分式ab/中已隐含了0a，∴用a分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的.（2）因为已知分式ba/中，没限制c，c可以取任意数，当然也包括了0c，当分式的分子、分母都乘以0c时，分式没意义，故（2）是错误的.例2分析（1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，32ba是由2ab乘以ab得到的，由分式的基本性质，ba也要乘以ab，所以括号内应填abba)(（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，22)1(12aaa除以1a得到右边分子1a，按照分式的基本性质，1)1()1(23aaaa，故括号内应填.12aa解：（1）322)(baabbaabba（2）)1(1112232aaaaaa例3分析要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.（2）中分子、分母中各项系数(512.0)是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3的最小公倍数60.解：（1）法1：原式50)02.05.0(50)3.02.0(yxyxyxyx251510法2：原式100)02.05.0(100)3.02.0(yxyxyxyxyxyx2515102503020（2）原式yxyxyxyx4015301260)3241(60)2151(说明在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘.例4分析（1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号.解：（1）32211aaaa)1()1(322aaaa11232aaaa（2）2332xxx)23(32xxx2332xxx例5分析在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.解：当0x时，5353bxax1x时，5353babxax∵不论x取什么实数，53bxax是一个定值∴5353ba，∴153155aa∵ba35∴ba53把ba53代入原式，得535)5(53535353bxbxbxbxbxax∴a、b的关系为ba35；定值为53例6解：设圆台的压力为G牛顿，下底面积为1S2米，上底面积为2S2米.则1SGP,214SS∴214PSPSG∴当圆台倒放时，桌面受到的压强为：PSPSSG44222(牛顿/2米)答：桌面受到的压强为P4牛/2米.说明运用分式知识，有助于解决物理中问题（1）nm25；（2）ab4；（3）yxx63；（4）baba32．例7分析根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变”．解：（1）同时改变分子和分式的符号，得nmnm2525；（2）同时改变分母和分式的符号，得abab44；（3）先确定是分母的符号，再变号，得yxxyxxyxx636363；（4）先确定是分子的符号，然后变号，得babababababa323232．说明1．分式中的分数线实际上起到了括号的作用．如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成yxxyxx6363或babababa3232；2．对于（4）题，也可处理成baabbaba2332的形式．例8分析此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是10，而10和6的小公倍数是30．于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以30．解：yxyxyxyxyxyx121510153052213031214.05.03121．说明1．利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件．2．操作过程中，用数30的确定是问题的关键所在．因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位．例9分析约分变形的前提是分子、分母有公因式．解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的．（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式a”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里232xx与2x是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：222222223xxxxxxxx121222xxxx（4）此题是约分变形．因此分母化成baba的形式，与分子约去公因式ba可得．说明1．对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；2．对（1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明．如（1）题：当2a，3b时，311322．（2）、（3）题同理．例10分析化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式．因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式．解：（1）2222323151533453babbaabababa；（2）baabaabbaa2442448216222224；（3）132121362332222xxxxxxxxxxxxxxxx．说明1．当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的．2．约分是实现化简分式的一种手段．通过约分将分式化成最简才是目的．而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件．3．把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情况，而不可盲目进行分解．例如（2）题，分式ba242已经是最简分式了，因此就没有必要将分子再继续分解了．