高一数学第七讲零点与方程的根

第七讲方程的根与函数的零点（一）抛转引玉浙江杭州某天早晨六点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃．在这段时间内，假设温度是均匀变化的，问：1）是否存在某时刻的温度为0℃？2）你能从数学的角度来解释这一现象吗？3）能计算出具体的时刻吗？（设计意图：当温度均匀变化时，温度随时间的变化图是一条直线，学生能够根据已知条件发现直线一定与x轴相交，求出相应函数的解析式，最终得出一次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．）（二）溯本逐源复习总结一元二次方程与相应函数与x轴的交点及其坐标的关系：000一元二次方程根的个数二次函数图象与x轴交点个数二次函数图象与x轴交点坐标（设计意图：回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．）函数yfx的图象与x轴交点，即当0fx，该方程有几个根，yfx的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．1．函数零点概念对于函数yfx，把使0fx的实数x叫做函数yfx的零点．说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．2．方程的根与函数零点的关系方程0fx有实数根函数yfx的图象与x轴有交点函数yfx有零点以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程问题可以转化为相应函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为相应方程问题．这正是函数与方程思想的基础．（三）顺藤摸瓜浙江杭州某天早晨六点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃．在这段时间内，温度是不均匀变化的，问：是否仍存在某时刻的温度为0℃？给出零点存在性定理：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且有0fafb，那么，函数yfx在区间a,b内有零点.即存在ca,b，使得0fc，这个c也就是方程0fx的根.（四）牛刀小试1.10xx３试判断方程＋３是否有根？2．求函数26f(x)xxln的零点的个数．练习：3.1.1:7,8,9，13(设计意图：通过例题分析，领会方程函数的转化思想,学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法．)（五）抽丝剥茧问题1.如果函数图象不是连续不断的，结论还成立吗？问题2.若0fafb，函数yfx在区间在a,b上一定没有零点吗？一定有零点吗？问题3.若0fafb，函数yfx在区间在a,b上只有一个零点吗？可能有几个？问题4.在满足定理的条件下，能否增加条件,可使函数yfx在区间在a,b上只有一个零点？(设计意图：函数零点存在的判定结论，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，但零点的个数需结合函数的单调性等性质进行判断．结论的逆命题不成立，通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理．)（六）再接再厉1.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内必定有零点？为什么？x123456f(x)20-5.5-2618-32.函数376fxxx在区间[-4，4]上是否存在零点？若存在零点,能确定零点的个数及大小吗?(设计意图:本题比较灵活，既可以用零点存在定理，又可以转化为方程、因式分解后求根。目的有二：一是通过确定零点的大小，体会一分为二的思想，为下一节二分法做铺垫；二是再次体会方程函数的转化思想.)（七）提纲挈领1.知识小结：零点的概念、方程的根与函数的零点零点存在定理2.思想方法小结：化归思想数形结合思想方程函数转化思想用二分法求方程的近似解假设电话线故障点大概在函数()ln26fxxx的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？我们已经知道，函数()ln26fxxx在区间（2，3）内有零点，且(2)f＜0，(3)f＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.师：如何有效缩小根所在的区间？生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.引导学生分析理解求区间(,)ab的中点的方法2abx．步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)0.0840f.由(3)f＞0，得知(2.5)(3)0ff，所以零点在区间(2.5，3)内。步骤二：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得(2.75)0.5120f.因为(2.5)(2.75)0ff，所以零点在区间(2.5，2.75)内.结论:由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．(见下表和图)问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤．对于在区间a[，]b上连续不断且满足)(af·)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精确度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下：1、确定区间a[，]b，验证)(af·)(bf0，给定精确度；2、求区间a(，)b的中点c；3、计算()fc：（1）若()fc=0，则c就是函数的零点；（2）若)(af·()fc0，则令b=c（此时零点0(,)xac）；（3）若()fc·)(bf0，则令a=c（此时零点0(,)xcb）；4、判断是否达到精确度：即若||ab，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2—4．（三）例题剖析，巩固新知例：借助计算器或计算机用二分法求方程732xx的近似解（精确度0.1）.两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评.本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐.此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法.思考：问题（1）：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？问题（2）：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流.反思二分法的特点，进一步明确二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法.（四）尝试练习，检验成果1、下列函数中能用二分法求零点的是（）.2、用二分法求图象是连续不断的函数)(xfy在x∈(1,2)内零点近似值的过程中得到0)1(f,0)5.1(f,0)25.1(f,则函数的零点落在区间（）.(A)（1,1.25）(B)（1.25,1.5）(C)（1.5,2）(D)不能确定3、借助计算器或计算机，用二分法求方程3lgxx在区间（2，3）内的近似解（精确度0.1）.练习：3.1.2：6,7,8（五）课堂小结，回顾反思学生归纳，互相补充，老师总结：1、理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函数在零点所在的区间内是连续不断；2、用二分法求方程的近似解的步骤.作业：完成带星号的题目(A)(B)(C)(D)。xyo