高一数学题库

-1-※※高一数学题库第一章~3一、多重选择题1.在xy坐标平面上，设L为过点(2，1)及点(1，2)的直线，L为过点(2，1)而与L垂直的直线，若L的方程式为axby1，则下列何者为真？(A)a，b皆为整数(B)ab0(C)ab0(D)a1b10(E)a2b2【解答】(D)(E)2.平面坐标系中，下列叙述何者正确？(A)点P(x0，y0)对x轴的对称点为(x0，y0)(B)点P(x0，y0)对y轴的对称点为(x0，y0)(C)点P(x0，y0)对原点的对称点为(x0，y0)(D)点P(x0，y0)对直线yx的对称点为(y0，x0)(E)点P(x0，y0)对直线yx的对称点为(y0，x0)【解答】(C)(D)(E)3.xy平面上，下列叙述何者正确？(A)直线y2x7之斜率为2(B)过两点(2，1)，(1，3)之直线斜率为32(C)直线2x3y60的x截距为2(D)a，b，cR，ab，则两直线axby30，bxayc0互相垂直(E)kR，直线(2k)x(k1)y(k3)0恒过点(1，1)【解答】(B)(D)4.若y2axy3x2bxcy0表示相交于点A(1，1)之两直线，a，b，cR，则(A)有一直线过原点(B)有一直线方程式为xy0(C)a2(D)b4(E)c4【解答】(A)(B)(C)(D)(E)5.设P(x，y)为坐标平面上一点，且满足22)3()1(yx22)12()4(yx510，则P点的位置可能在哪里？(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(E)原点【解答】(B)(D)(E)6.如图，O，A，B，C，D，E六等分一个圆，此圆半径为2，则(A)A点的坐标为(1，3)(B)B点的坐标为(0，23)(C)C点的坐标为(2，23)(D)D点的坐标为(3，3)(E)E点的坐标为(2，0)【解答】(A)(B)(C)(D)(E)7.设不共点的三直线之方程式分别为：ax4y1，(a1)x3y2，x2y3，其中a为实数。试问a为何值时，上述三直线会围出一个直角三角形？(A)8(B)4(C)1(D)3(E)5【解答】(A)(B)(D)(E)二、填充题1.设x为实数，求25)4(2x1)4(2x之最小值为。【解答】102.设A(4，1)，B(2，5)，G(32，1)，G为ABC的重心，则ABC的垂心坐标为。【解答】(512，53)3.设点A(a，b)在第一象限，则通过A且和x轴、y轴在第一象限所围成三角形面积为1121ab之直线必存在。(1)真伪：。(2)理由：。【解答】(1)伪4.二直线L1：ax6y5a3，L2：2x(a7)y297a，(1)当a时，则L1//L2。(2)当a时，则L1L2。【解答】(1)a4(2)a2215.已知A(2，2)，B(1，1)，C(3，5)，(1)过A，B两点之直线方程式为。(2)过C点且x截距与y截距的绝对值相等，而不过原点之直线方程式为。(3)ABC之外心坐标为。【解答】(1)3xy40(2)2x2y1或8x8y1(3)(6，1)6.已知三角形的三顶点为A(3，3)，B(1，5)与C(6，0)，则边BC上之高所在的直线方程式为；三高交点的坐标为。【解答】7x5y360；(314，32)7.设ABC中，A(0，4)，B(2，0)，重心G(31，35)，则垂心H的坐标为。【解答】(31，37)8.ABC中，AB=5，BC=6，AC=3，M为AC之中点，则BM。【解答】21139.L为过A(2，1)且与L1：2xy0，L2：2xy0各交于P，Q之直线，若A为PQ的中点，则L之方程式为。【解答】y8x1510.设A(2，1)，B(5，1)，C(3，a)为一个直角的三顶点，则实数a之值为。【解答】25，4，311.若直线ymx3与图形|x||y|2不相交，则m的范围为。【解答】23m2312.直线L通过点(2，2)，且与两坐标轴所成三角形的面积为1，则L之方程式为。【解答】1x2y1或2x1y113.若直线L的斜率为53，且和两坐标轴所围成的三角形面积为30，若L不经过第四象限，得方程式为axby30-2-0，试求序对(a，b)之值为。【解答】(3，5)14.直线L1：31x17y10，L2：19x13y20相交于点A，而B是原点，则AB的方程式为。【解答】27x7y015.直线L：mxy30恒通过一定点P，且L交x轴于A，交y轴于B，以A-B-P之顺序共线，且AB：BP1：3，求L的方程式。【解答】9x4y3016.设ABC的三个顶点坐标各为A(2，5)，B(3，1)，C(4，2)，则A，B，C的大小顺序为。【解答】BAC17.设A(1，9)，B(6，2)，(1)在y轴上找一点P使PAPB有最小值，则P点坐标为。又此最小值为。(2)在直线x5y12上找一点Q使|QAQB|有最大值，则Q点坐标为，又此最大值为。【解答】(1)P(0，8)；最小值72(2)Q(8，54)；最大值7418.在xy平面上，有三点A(3，0)，B(1，2)，C(1，2)及点P，则当P之坐标是时，2PA2PB2PC之值最小，其值为。【解答】P(1，0)；最小值1619.设mR，二直线mx3y10与x(m2)ym0相交于第二象限内，则m之范围为。【解答】1m320.已知三角形的三顶点为A(3，3)，B(1，5)与C(6，0)，则ABC之垂心坐标为。【解答】(314，32)21.设直线方程式为3x4yk0，其被两坐标轴所截出之线段长为4，则k之值为。【解答】54822.已知A(1，2)与B(3，4)为两定点，P(x，y)为直线x2y3上一点，问PAPB时，P点的坐标为。【解答】(7，2)23.设点P到A(3，0)，B(0，1)，C(0，6)都等距，则P的坐标为。【解答】(25，27)24.已知三点A(2，1)，B(4，3)，C(3，4)及直线L：x2y50，求(1)在直线L上找一点P，使2PA2PB之值最小，则P之坐标为。(2)在直线L上找一点Q，使BQCQ之值最小，则Q之坐标为。【解答】(1)(511，518)(2)(35，310)25.k，mR，k2m20，直线(4k3m)x(km)y13k10m0恒过定点。（请写出点坐标）【解答】(723，71)26.有三直线L1：x2y60，L2：2x3y100，L3：kx2y80(1)若L3//L1，则k。(2)若L1，L2，L3不能围成一个三角形，则k。【解答】(1)1(2)1或34或627.三直线L1：3xy80，L2：3xy20，L3：y20围成ABC，其中A为L1，L2之交点(1)过A点之高，其方程式为。(2)ABC之垂心坐标为。【解答】(1)x1(2)(1，37)28.设A(1，4)，B(3，2)，C(4，3)，P(x，y)为任意一点(1)2PA2PB2PC之最小值为。(2)此时P点坐标为。【解答】(1)16(2)(2，3)29.一直线L与二直线x2y10及2xy10分别交于点P，Q，而PQ被原点所平分，则(1)P点坐标为。(2)L之方程式为。【解答】(1)(2，6)(2)3xy030.已知A(5，2)，B(1，2)，C(1，4)，求过B点且将ABC的面积等分的直线方程式为。（以axbyc0之形式表之）【解答】x2y50三、证明题1.直角ABC中，点P，Q为斜边AB的三等分点，证明：3(2CP2CQ2PQ)22AB。2.(1)已知两直线方程式L1：ym1x，L2：ym2x，若L1与L2垂直，试证：m1m21。(2)设为一实数，直线L1的方程式为2x(21)y7，直线L2的方程式为(34)x(35)y2，若L1与L2垂直，试求值。【解答】(2)613或13.直线L1，L2的斜率各为m1，m2，证明：L1L2m1．m21。4.(1)a0，b0，试证：2baab，且等号成立之充要条件为ab。(2)利用(1)求过点(3，2)且与二轴在第一象限所围之三角形面积最小之直线方程式为何？又最小面积？【解答】(2)6x4y1；12四、计算题1.直角坐标平面上，直线L分别交x轴，y轴于点A与点B，如图所示。自原点O作L的垂线OH，其中H为垂足；若OH2，AOH60，-3-(1)试求H的坐标、直线AB的方程式。(2)线段AB上，x坐标及y坐标都是有理数的点共有几个？请说明你的理由。（已知p为无理数，其中p为质数）【解答】(1)x3y40(2)1个2.设A(3，47)，B(23，18)，试求：(1)线段AB上的格子点，共有多少个？(2)求在(1)中这些格子点的所有横坐标的总和。【解答】(1)14(2)1403.设O为原点，正方形OABC，如下图，P(2，0)在AB上，Q(3，1)在BC上，求正方形OABC的面积。【解答】34.如下图，五边形ABCDE中，若AB线段、BC线段、CD线段、DE线段、EA线段的斜率分别为m1、m2、m3、m4、m5，请比较五边线段之斜率大小？【解答】m5m3m1m4m25.已知坐标平面上三点A(1，3)，B(5，7)，C(2，1)，若直线L过C且与A，B两点等距离，求直线L之方程式。【解答】2x3y70或x206.设ABC之三顶点为A(2，8)，B(6，2)，C(6，5)，而且顶点A的分角线交BC于D点，求D点的坐标。【解答】(2，4)7.设A(3，2)，B(1，2)，C(2，a)，若ABC为直角三角形，则a？【解答】25，58.ABC之三边AB，BC，CA之中点分别为D(5，4)，E(4，1)，F(3，2)，求点A之坐标？【解答】(2，3)9.设A(2，1)，B(4，3)，而P是直线L：xy10的动点，求(1)PAPB之最小值。(2)|PAPB|之最大值。【解答】(1)213(2)2510.有一道光线从第一象限沿着直线L：3x4y1射向x轴上的P点，经x轴反射后，光线沿着另一条直线L离去，求(1)点P的坐标。(2)L的方程式。【解答】(1)(31，0)(2)3x4y111.求点P(3，1)关于直线2x3y40之对称点坐标。【解答】(1，5)12.ABC的三边BC，CA，AB分别在直线x2y9，xy9，3xy13上，试求ABC之(1)重心；(2)垂心；(3)外心；(4)又此三点是否共线。【解答】(1)(316，35)(2)(6，1)(3)(5，3)(4)是共线4xy23013.ABC中，A(2，5)，B(3，0)，垂心(211，21)，求C点坐标及ABC之面积。【解答】C(0，5)；2014.如图ABCD为梯形，ADAB，AD交y轴于S，CD交x轴于T，已知三顶点A(3，0)，B(0，6)，C(5，1)，试求顶点D的坐标，并求DST的面积。【解答】845