高一物理万有引力定律测试题(一)一.定律内容(公式2rMmGF)及适用条件例1.如图所示,阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分,所挖去的小圆球的球心和大球体球心间的距离是2R,求球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力.例1.分析:万有引力定律只适用于两个质点间的作用,只有对均匀球体才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点,至于本题中不规则的阴影区,那是不能当作一个质点来处理的,故可用补偿法,将挖去的球补上.[解析]将挖去的球补上,则完整的大球对球外质点P的引力:2214)2(RGMmRMmGF半径为2R的小球的质量MRMRRM8134)2(34)2(34332补上小球对质点1的引力:22250)25(RGMmRmMGF因而挖去小球的阴影部分对质点P的引力:2222110023504RGMmRGMmRGMmFFF二.综合运用牛顿定律、万有引力和匀速率圆周运动求解天体的运动的问题(1)星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法例2.据报道,美国航空航天管理局计划在2008年10月发射“月球勘测轨道器”(LRO),LRO每天在50km的高度穿越月球两极上空10次.若以T表示LRO在离月球表面高h处的轨道上做匀速圆周运动的周期,以R表示月球的半径,求:(1)LR0运行时的向心加速度a;(2)月球表面的重力加速度g.(2)例2.解:(1)由a=rω得224()aRhT①(2)设月球质量为M,万有引力恒量为G,LRO的质量为m,根据牛顿定律2()MmmaGRh②由万有引力定律得2MmmgGR③由①②③得23224()RhgTR④此类题型经常以抛体运动出现:例3.某星球质量约为地球质量的9倍,半径为地球半径的一半,若从地球表面高h处平抛一物体,射程为60m,则在该星球表面上,从同样高度以相同大小的初速度平抛同一个物体,射程应为()A、10m;B、15m;C、90m;D、360m;例4.在地球某处海平面上测得物体自由下落高度h所需的时间为t,到某高山顶测得物体自由落体下落相同高度所需时间增加了t,已知地球半径为R,求山的高度。(2)卫星的速度、加速度、周期和卫星轨道的关系例4.解:在海平面,由自由落体运动规律,有221gth(1)2RGMmmg(2)在某高山顶,由自由落体运动规律,有221)(ttgh(3)2)(hRGMmgm(4)由以上各式可以得出,TtRh例5.已知地球半径R=6.4×106m,地面附近重力加速度g=9.8m/s2,计算在距离地面高为h=2×106m的圆形轨道上的卫星做匀速率圆周运动的线速度v和周期T.例5.分析:根据万有引力提供其做圆周运动的向心力hRvmhRMmG22)(求解.[解析]卫星做圆周运动的向心力是它与地球间的万有引力,即hRvmhRMmG22)(知hRGMv○1由地球表面附近万有引力近似等于重力,即mgRMmG2得2gRGM○2由○1○2两式可得:6662102104.68.9104.6hRgRvm/s=6.9×103m/s运动周期:vhRT)(2366109.6)102104.6(14.32s7.64×103s点评:在已知地球半径和地面附近重力加速度的情况下,可以使用变换GM=gR2,使计算变得简单,有些教师称其为黄金代换.例6.我国预计在2007年4月份发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设“嫦娥1号”卫星环绕月球做圆周运动,并在此圆轨道上绕行n圈,飞行时间为t。已知月球半径为R,月球表面的重力加速度为g。导出飞船在上述圆轨道上运行时离月球表面高度h的公式(用t、n、R、g表示)例6.解析:设月球质量为M,探测器质量为m,引力常量为G,在圆轨道上运行周期为T,由万有引力定律和牛顿第二定律得2224)()(ThRmhRMmG①由题意得ntT②探测器在月球表面上时mgRMmG2③由以上各式得,离地面的高度RntgRh322224④题后反思:本题是一道天体运动方面的试题。综合了万有引力定律、牛顿第二定律、圆周运动等考点,均为主干知识。试题中等难度。本题的亮点是以探月卫星“嫦娥1号”为话题引导学生关注科技进展,关注社会进步,是一道很好的试题。(3)求天体的质量、密度例7.继神秘的火星之后,土星也成了全世界关注的焦点!经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后,美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间2004年6月30日(北京时间7月1日)抵达预定轨道,开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测!若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道,在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行,环绕n周飞行时间为t.试计算土星的质量和平均密度。例7.解析:设“卡西尼”号的质量为m,土星的质量为M.“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供.22)2)(()(ThRmhRMmG由题意ntT所以:2322)(4GthRnM.又334RV得3232)(3RGthRnVM例8.把地球绕太阳公转看作匀速率圆周运动,轨道平均半径约为1.5×108km,已知万有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,则可估算出太阳的质量大约是多少kg?(结果取一位有效数字)例8.[解析]题干给出地球轨道半径:r=1.5×108km,虽没直接给出地球运转周期数值,但日常知识告诉我们:地球绕太阳公转一周为365天,故周期T=365×24×3600=3.2×107s万有引力提供向心力rTmrMmG22)2(故太阳质量:2324GTrM27113112102.31067.6105.114.34)()(kg2×1030kg[点评]○1在一些天体运行方面的估算题中,常存在一些隐含条件,应加以利用.如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力.地面附近的重力加速度g=9.8m/s2;地球自转周期T=24h,公转周期T=365天,月球绕地球运动的周期约为27天等.○2本方法利用的是卫星运动的有关参量(如r、T),求出的质量M是中心天体的,而不是卫星本身质量m,同学们应切记这一点.○3本题要求结果保留一位有效数字,有效数字运算规则告诉我们:在代入数据运算时,只要按四舍五入的方法代入二位(比要求多保留一位)有效数字即可,这样可避免无意义的冗长计算,最后在运算结果中,再按四舍五入保留到所要求的一位即可,望同学们体会运用.(4)“双星”模型例9.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统.它们运行的原理可以理解为,质量为M的恒星和质量为m的行星(Mm),在它们之间的万有引力作用下有规则地运动着.如图所示,我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星).设万有引力常量为G,恒星和行星的大小可忽略不计.(1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置;(2)试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v.例9.解析:(14分)(1)恒星运动的轨道和位置大致如图.(圆和恒星位置各2分)(2)对行星m2mFmR①(2分)对恒星M2MFMR②(2分)根据牛顿第三定律,F与F′大小相等由①②得MmRaM③(2分)对恒星M22()MmMMvMmGRRR④(2分)代入数据得mGMvMma⑤(2分)(5)关于天体“解体”的的问题例10.中子星是恒星演变到最后的一种存在形式.(1)有一密度均匀的星球,以角速度ω绕自身的几何对称轴旋转.若维持其表面物质不因快速旋转而被甩掉的力只有万有引力,那么该星球的密度至少要多大?(2)蟹状星云中有一颗中子星,它每秒转30周,以此数据估算这颗中子星的最小密度.(3)若此中子星的质量约为太阳的质量(2×1030kg),试问它的最大可能半径是多大?例10.(1)2RGMm=mRω2,M=ρ34πR3,带入得:ρ=G432(2)ρ=G432=1121067.64)60(3kg/m3=1.27×1014kg/m3(3)M=ρ34πR3,所以R=3143031027.114.34102343Mm=1.56×105m行星mCa行星mCa恒星M(4分)(3分)(3分)随堂练习:1.我国预计在2007年4月份发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设想嫦娥号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动,测得其周期为T。飞船在月球上着陆后,自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P。已知引力常量为G,由以上数据可以求出的量有()A.月球的半径B.月球的质量C.月球表面的重力加速度D.月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度1.解析:万有引力提供飞船做圆周运动的向心力,设飞船质量为mˊ,有2224TRmRmMG,又月球表面万有引力等于重力,月mgPRMmG2,两式联立可以求出月球的半径R、质量M、月球表面的重力加速度月g;故A、B、C都正确。答案:ABC。题后反思:测试考点“万有引力定律”。本题以天体问题为背景,考查向心力、万有引力、圆周运动等知识。这类以天体运动为背景的题目,是近几年高考命题的热点,特别是近年来我们国家在航天方面的迅猛发展,更会出现各类天体运动方面的题。2.两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动,周期之比为TA:TB=1:8,则它们的轨道半径之比和运动速率之比分别为()A.:4:1,:1:2ABABRRvvB.:4:1,:2:1ABABRRvvC.:1:4,:1:2ABABRRvvD.:1:4,:2:1ABABRRvv3.2006年9月3日欧洲航天局的第一枚月球探测器“智能1号”成功撞上月球。已知“智能1号”月球探测器环绕月球沿椭圆轨道运动,用m表示它的质量,h表示它近月点的高度,ω表示它在近月点的角速度,a表示它在近月点的加速度,R表示月球的半径,g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响。则“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于()A.maB.m22)(hRgRC.m2)(hRD.以上结果都不对3.解析:“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力,即为它所受的合外力,由牛顿第二定律得,maF,故A正确。由万有引力定律得,2)(hRMmGF,又月球表面上,mgRMmG2,由以上两式得Fm22)(hRgR,故B选项正确;由于“智能1号”月球探测器环绕月球沿椭圆轨道运动,在近月点上万有引力小于其所需的向心力,故C选项错误。答案:AB。题后反思:本题以2006年9月3日欧洲航天局的月球探测器“智能1号”撞击月球为背景,考查学生多万有引力定律及牛顿第二定律的理解。试题难度不大,但要求考生有一定的理解能力。4.“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中,发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星,并测得两颗卫星的周期相等,以下判断正确的是()A.天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比B.两颗卫星的线速度一定相等C.天体A、B的质量一定相等D.天体A、B的密度一定相等4.AD(由224TmRmg知,A正确;由2224TRRv,因两颗天体半径R不确定,故B不正确。由2224TmRRMmG知,C不正确;由23GTVM得D正确。故选AD)5.2005年10月12日,“神舟”六号飞船成功发射,13日16时33分左右,费俊龙在船舱里做“翻筋斗”的游戏。有报道说,“传说孙悟空一个筋斗十万八千里,而费俊龙在3min里翻了4个筋斗,一个筋斗351km”据此报道求出“神舟”六号在太空预定轨道上运行时,距地面的高度与地球半径之比。(已知地球半径为6400km,g取10m/s2,结果保留两位有效数字)5.smtsv/108.760310351433,由hRvmhRMmG22)(得RvGMh2