陕西省2016中考数学复习针对性训练与圆切线性质有关的证明及计算二十(针对陕西中考第24题)

与圆切线性质有关的证明及计算二十(针对陕西中考第24题)1．(2015·巴彦淖尔)如图，AB是⊙O的直径，点C是AB︵的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.(1)求证：AC＝CD；(2)若OC＝5，求BH的长．解：(1)连接OC，∵C是AB︵的中点，AB是⊙O的直径，∴CO⊥AB，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA＝OB，∴AC＝CD(2)∵E是OB的中点，∴OE＝BE，在△COE和△FBE中，∠CEO＝∠FEB，OE＝BE，∠COE＝∠FBE，∴△COE≌△FBE(ASA)，∴BF＝CO，∵OB＝5，∴BF＝5，∴AF＝AB2＋BF2＝5，∵AB是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴ABBH＝AFBF，∴BH＝AB·BFAF＝25×55＝22．(2015·巴中)如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC.(1)求证：直线CD为⊙O的切线；(2)若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长．解：(1)连接OC，∵∠CEA＝∠CBA，∠AEC＝∠ODC，∴∠CBA＝∠ODC，又∵∠CFD＝∠BFO，∴∠DCB＝∠BOF，∵CO＝BO，∴∠OCF＝∠B，∵∠B＋∠BOF＝90°，∴∠OCF＋∠DCB＝90°，∴直线CD为⊙O的切线(2)连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DCO＝∠ACB，又∵∠D＝∠B，∴△OCD∽△ACB，∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝3，∴COAC＝CDBC，即2.53＝CD4，解得：DC＝1033．(2015·乌鲁木齐)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.(1)求证：DC＝DE；(2)若tan∠CAB＝12，AB＝3，求BD的长．解：(1)连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，故∠DCE＝∠E，∴DC＝DE(2)设BD＝x，则AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1.5＋x，在Rt△EAD中，∵tan∠CAB＝12，∴ED＝12AD＝12(3＋x)，由(1)知，DC＝12(3＋x)，在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝DO2，则1.52＋[12(3＋x)]2＝(1.5＋x)2，解得：x1＝－3(舍去)，x2＝1，故BD＝14．(2015·遂宁)如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM＝185，sin∠ABD＝35，求线段BN的长．解：(1)连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵OB＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠ABD(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°，∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD，∴AMAD＝ADAB，∴AD2＝AM·AB(3)∵sin∠ABD＝35，∴sin∠1＝35，∵AM＝185，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝AB2－AD2＝8，∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°，∴∠DBN＝∠1，∴sin∠NBD＝35，∴DN＝245，∴BN＝BD2－DN2＝325