平面与平面垂直的判定定理

2.3.2平面与平面垂直的判定定理1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a'//a，b'//b，我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角.2.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.范围：(0o,90o]．范围：[0o,90o]．复习引入空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.(1)半平面的定义1.二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．l半平面半平面(2)二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．l棱面面①平卧式：②直立式：llAB(3)二面角的画法和记法：1.二面角的概念面1－棱－面2点1－棱－点2二面角－l－二面角－AB－二面角C－AB－DABCDAOlB(4)二面角的平面角A'B'O'1.二面角的概念以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图，，则∠AOB成为二面角的平面角.它的大小与点O的选取无关.,OAlOBll二面角的平面角必须满足：③角的边都要垂直于二面角的棱①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内lOAB[0。，180。](4)二面角的平面角1.二面角的概念二面角的范围为：注1：①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°；②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.OAB①定义法②垂线法③作棱的垂面法一个平面垂直于二面角-l-的棱l，且与两半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则∠AOB为二面角-l-的平面角．(5)二面角的平面角的作法：1.二面角的概念OABllOAB,,ABABAAOl过作,OBOBl连接则oABll补充例正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_____，二面角B-AA1-D的大小为______，二面角C1-BD-C的正切值是_______.245°90°练习练如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小．AA1BB1CC1DD1E思路分析：①找基面平面BCD②作基面的垂线过E作EF⊥CD于FF③作平面角作FG⊥BD于G，连结EGG解：过E作EF⊥CD于F，于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角．∵BC=1，CD=2，11212255BCCDGFBD而EF=1，在△EFG中tan5EFEGFGF∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点，过F作FG⊥BD于G，连结EG，则EG⊥BD．（三垂线定理）∴M练习ABCD求证:060,BACCDBD分析:由直二面角的定义可知,BDC为直角,就是这个直二面角的平面角.所以CDBD.若设aAD,则aCDBD,即可求得:aBCACAB2，那么BAC为等边三角形,即有060BAC.例如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.CDHG600300例如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?解:因为CDG是坡面,设DH是地平面的垂线段,DH就是所求的高度.作HG⊥AB,垂足为G,那么DG⊥AB,∠DGH就是坡面和地平面所成的二面角的平面角,所以∠DGH=060.又CD与AB所成角为∠DCG=030.060sinDGDH)(3.4332560sin30sin10060sin30sin0000mCD答:沿这条路向上走100米,升高约43.3米.AB练习如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？思考2.平面与平面垂直的判定(1)定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作(2)面面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．②该定理作用：“线面垂直面面垂直”,aa注2：①③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.aa练在正方体ABCD—A1B1C1D1中,(1)求证：平面A1C⊥平面B1DACDA1C1D1EFＢB1(2)E、F分别是AB、BC的中点，求证：平面A1C1FE⊥平面B1D(3)G是BB1的中点，求证：平面A1C1G⊥平面B1DGGGG总结:直线A1C1⊥平面B1D，则过直线A1C1的平面都垂直于平面B1D练习ABCPO证明：由AB是圆O的直径，可得AC⊥BCPAABCBCABC平面平面BCPAC平面PABCBCACPAACABCPBC平面平面PAC⊥平面PBC例如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.求证：平面PAC⊥平面PBC练习0,,,,,.1).,_____.2).,,,_____.3).,90,______ABCPPOOPAPBPCPAPBPCOABCPAPBPBPCPCPAOABCPAPBPCCOAB例过所在平面外一点作垂足为连接若则是的心若则是的心若则是边的点.PABC外垂中练习：P79B组2(2)ABCPPOOPAPC.i)PAPBPCOAB过所在平面外的一点，作，垂足为，连接，PB，求证：若，则点是的中点.PABCOOAOBOCPOABCPOOAPOOBPOOCPA=PB=PCPO=PO=PORtPOARtPOBRtPOCOA=OB=OCOABC.证明:连接，，面，，，，即为的外心ABCABC=90OAC.特别地，当为直角三角形，如，则为斜边的中点P-ABCPAPBPCABC=:PACABC.变式1在三棱锥中，，90，求证面面PABCPOO.OAOBOCPOABCPOOAPOOBPOOCPA=PB=PCPO=PO=PORtPOARtPOBRtPOCOA=OB=OCOABC.过作面的垂线，垂足为连接，，面，，法，，一即为的外心:ABCABC=90OAC.POPACPOABCPACABC为直角三角形，，则为斜边的中点由面，面，可得面面.PABCACBCEFPEEFPF法二:分别取，的中点，，连接，，.ABC=90BCABABCEFACBCEF//AB,BCEF，在中，，分别是边，的中点故有PABC,EACPEACPAPB点为的中点，.EFPB=PCFBCPFBC又，为的中点，PFEF=FBCBCPEPEF.面即有而，P-ABCPAPBPCABC=:PACABC.变式1在三棱锥中，，90，求证面面PEACPEBCACBC=CPEABC.故由，，，面PEPACPACABC.面，面面分析ACEPEPEABC.证明:取的中点，连接，往证面BFEFPFEF//BC.PEEF.取A的中点，连接，，则往证即可PABC,EACPEACPAPB点为的中点，.EF1BCABCEFBC.22aa设，在中，PEBC,.接下来往证可转化为异面直线所成角问题RAPCRABC注意：ttPEEF.（和相交，本题已知的边角关系较多，可考虑勾股定理）12RtAPCEAC.22a在等腰中，P223APBF=PAAF=2a在等腰中，P22PE+EF=FPEEF2P，RtABCACACPPBAB.)PACABC)B-PC-Aiii变式2把等腰沿着斜边旋转到的位置，使得求证面面求二面角的余弦值.或者考虑二面角定义法PCGEGBGBEEGCPAEG//PAPAPCEGPC.BP=BCGPCBGPCEGBB-PC-A.解1:取的中点，连接，，为的中位线，又，，为的中点，为所求二面角的平面角112BC,APCEG=,ABCEB=AC=,2223PBCBG=.2aaaa设在Rt中，在Rt中，在等边中，22GEBEG+EB=GBBEG=90.3GEB32在中，，EG在Rt中,cosEGB=GBGPABCERtABCACACPPBAB.)PACABC)B-PC-Aiii变式2把等腰沿着斜边旋转到的位置，使得求证面面求二面角的余弦值.)PACABCPACABC=AC,BE,BEACBEPACi解2:由知面面，面面故连接则由，可得面.PACEG//PAEACGPC11BC,EG=PA=223PBCGB=.2aaa在内，，为的中点，故点为的中点，设又在等边中，GEBEG在Rt中,cosEGB=GBGPABCEEPACEGPCGBGBGPCEGBB-PC-A.过点在平面内作于点，连接，此时.为所求二面角的平面角33EGcosEGB=GBBABPBCAPC90BEPAC.)(或由，，知面RtABCACACPPBAB.)PACABC)B-PC-Aiii变式2把等腰沿着斜边旋转到的位置，使得求证面面求二面角的余弦值.练习二、平面与平面垂直(1)定义：两平面所成二面角为直二面角(2)判定定理：(3)性质定理：l平面过平面的垂线两平面垂直，则平面内垂直于公共棱的直线是另一个平面的垂线.一、直线与平面垂直(1)定义：ll垂直于平面内的所有直线.(2)判定定理：ll两垂直于平面内的直线条相交(3)线线垂直的常用证明方法：a.平面内的两直线——b.空间内的两直线——12转化为异面直线所成角问题线面垂直线线垂直.12菱形，正方形等对角线互相垂直等腰三角形底边上的高3勾股定理.lbbl要证明垂直于内的直线，往往反过来证明垂直于过的某个平面(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.三、角度问题名称定义图形两条异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a'、b'，并使a'//a，b'//b，我们把直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LαθoBAAαβLBO平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则L与α所成的角是直角，若L//α或Lα，则L与α所成的角是的角。解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得.2.方法：3.步骤：b.求直线与平面所成的角：a.求异面直线所成的角：c.求二面角的大小：①作（找）②证③点④算1.数学思想：平移构造可解三角形找（或作）射影构造可解三角形找（或作）其平面角构造可解三角形定义法或者垂线法即找面的垂线，找出垂足找平行线方法：中位线，平行四边形，线段成比例，线面平行的性质定理等OαβLαβLABOPABback练习：二面角的平面角为,PA⊥于A点，PB⊥于B点，PA=a，PB=b，求点P