连续型随机变量复习

第二章复习关于连续型随机变量的问题1、定义X是随机变量,若存在非负可积函数f(x)，(-x+)，使对一切实数x均有()()xPXxftdt＝则称X为连续型随机变量，且称f(x)为随机变量X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数（pdf）。一、一维连续型随机变量及其概率密度函数(1)非负性f(x)0，(-x+)；1)(＝dxxf2、密度函数的性质(3)),(,,baRbabadxxfaFbFbXaP)()()()((2)归一性(4)若F(x)在x0处可导，则有。而在不在不可导点可以将密度取为0。即)()(00xfxFxx(5)f(x)在x0处连续，且Δh充分小时,有hxfdxxfhxXxPhxx)()()(00000的不连续点处在，的连续点处在，)('0)(')(')(xFxFxFxf密度函数的几何意义为badttfbXaP)()(＝即y=f(x)，y=a，y=b，x轴所围成的曲边梯形面积。xdttfxXPxF)()()(＝＝二.一维连续型分布函数定义：X是连续型随机变量,f(x)是其概率密度函数，则其分布函数为(-x+)面积为F(x)连续型随机变量X取任一固定值的概率为0计算分布函数的一般步骤：1.由密度函数的分段判断分布函数的分段2.分段积分得到分布函数连续型随机变量的分布函数必是连续函数。例1设202()230KxxXfxKxx的密度函数其它求:(1)常数K；(2)X的分布函数；(3))251(XP解(1)由性质,1)(dxxf得120322KxdxdxKx解之得316K(2)X的分布函数为31322000)(202316231602316xxtdtdttxdttxxFxx263163102()230xxXpdffxxx的为其它31322000)(31423133312xxxxxxxF124831312314)25(313)1()25()251(32FFXP(3)25112483)(dxxf三.几个常用的连续型随机变量的分布其它,0,1)(bxaabxf若随机变量X具有概率密度函数1.均匀分布则称X在[a,b]上服从均匀分布，记作X~U[a,b]。若X~U[a,b]，则X具有下述等可能性：X落在区间[a,b]中任意长度相同的子区间里的概率是相同的。即X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关。.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxFX的分布函数f(x),F(x)的图像分别为Oabxf(x)ab1OabxF(x)1例3长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率。)6055()4525()1510()(XPXPXPAP解设A—乘客候车时间超过10分钟，X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)216052052、指数分布定义:设随机变量X的密度函数为0,00,)(xxexfx＝则称X服从参数为0的指数分布。其分布函数为)(xfxO0,00,1)(xxexFx＝指数分布常用来描述元件的使用寿命,随机服务系统的服务时间等.例4电子元件寿命X(年)服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率；(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率为多少？解330()00,xexfxx,3)2()1(623edxeXPx65.135.3333)5.1()5.1,5.3()5.1|5.3()2(edxedxeXPXXPXXPxx指数分布的特点是“无记忆性”,元件在使用t时间后无损坏,用指数分布来计算,其寿命与新的时候相同.因此指数分布又被称为永远年轻的分布()()PXtsXtPXs正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有别重要的地位。４、正态分布则称X服从参数为,2的正态分布,记为X～N(,2)。定义：若随机变量X的概率密度函数为（其中，为实数，0）f(x)的图像为22()21(),2xfxxe(1)单峰对称密度曲线关于直线x=对称，即f(+x)=f(-x)，x∈(-∞,+∞)21正态分布密度函数f(x)的性质(2)x=时，f(x)取得最大值f()=；(3)的大小直接影响概率的分布，越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峭。（如图）正态分布也称为高斯(Gauss)分布(4)曲线f(x)以x轴为渐近线。正态分布随机变量X的分布函数为xtdtexF222)(21)(其图像为OμxF(x)1标准正态分布当参数＝0，2＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，记作X~N(0,1)。.,21)(22xexx分布函数表示为xdtexXPxxt,21}{)(22其密度函数表示为Ox211Φ(x)标准正态分布的密度函数与分布函数的图像分别为由密度及分布函数的对称性可得)()(xx1)()(xx对于标准正态分布的分布函数Φ(x)的函数值，书后附有标准正态分布表。表中给出了x0的函数值。当x0时，可利用Φ(-x)=1-Φ(x)计算得到。例6已知X~N(0,1)，求P(-∞＜X≤-3)，P(|X|＜3)解P(-∞＜X≤-3)=Φ(-3)=1-Φ(3)P(|X|＜3)=P(-3＜X＜3)=Φ(3)-Φ(-3)=Φ(3)-[1-Φ(3)]=2Φ(3)-1=2×0.9987-1=0.9974=1-0.9987=0.0013一般地,X~N(0,1),P(X≤x)=Φ(x),P(|X|＜x)=2Φ(x)-1对于一般正态分布的随机变量X～N(,2)，可通过将其分布函数标准化的方法来计算其分布函数值(即概率)。()()XxFxPXx定理：设随机变量X～N(,2)，其分布函数为FX(x)，则有证明xxztztXdzedtexXPxF22)(2222121)()(xzxdze2221一般有1212()xxXPxXxP21xx例7设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22)。现假定工程资方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合理？解（1）工程资方掌握资金3亿元。若委托甲公司承包)4.0(5.08.23)3()3(FXP若委托乙公司承包50.0)0(2.033)3()3(FYP=0.6554(2)请自己完成。委托甲公司承包较为合理。正态随机变量的3原则：设XN(,2)在工程应用中，通常认为P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|3}的值。6827.01)1(21)(XPXP9545.01)2(22)2(XPXP(3)32(3)10.9974XPXP在一次试验中，正态分布的随机变量X落在以为中心，3为半径的区间(-3,+3)内的概率相当大(0.9974)，即X几乎必然落在上述区间内，或者说在一般情形下，X在一次试验中落在(-3,+3)以外的概率可以忽略不计。三.连续型随机变量的函数的分布1、一维随机变量的函数的分布设连续型随机变量X的概率密度函数为fX(x)，(-x+),Y=g(X)为随机变量X的函数，则Y的分布函数为FY(y)＝P(Yy)＝P(g(X)y)＝yxgdxxf)()(dyydFyfYY)()(从而Y的概率密度函数fY(y)为此法也叫“分布函数法”定理设X的概率密度为fX(x),y=g(x)严格单调且其反函数g-1(y)，有连续导数,则Y=g(X)也是连续型随机变量,其密度为fY(y)=fX(g-1(y))|g-1(y)|dyd利用上述定理来求密度的方法可以称为公式法：一般地若X~fX(x),y=g(x)是严格单调连续可导函数，则|)(|)]([)(~)(yhyhfyfXgYXY注1、只有当g(x)是x的单调连续可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数；2、注意定义域的选择。其中h(y)为y＝g(x)的反函数。例9已知XN(,2),求解222222121yyeeXY的概率密度XY关于x严格单调，反函数为yyh)(故)(|)(|)]([)(yfyhyhfyfXXY2.线性变换及平方变换下的分布))()(((21)())(),(1)()),(~2.5.32yfyfyYfXYiiyRyabyfayfbaXYixfXXXYXYX定理例10设X~U(0,1)，求Y=aX+b的概率密度。(a≠0)解Y=ax+b关于x严格单调，反函数为abyyh)(故aabyfyhyhfyfXY1)(|)(|)]([)(而其它0101)(xxfX所以其它0101)(abyayfY例11设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。2)(01121xxgyxxfX其它ydxFyyY21其它01021)(')(yyyFyfYY当y0时，0)(yFY当0≤y1时当y≥1时1)(yFYyy解dxxfyXPyYPyFyxXY2)()(2例12已知XN(0,1),求Y=X2的分布.))()(((21)(2yfyfyYfXYXXYdxxfyXyPyXPyFyyXY)()()()(2))()(((21)')(()')(()'()(yfyfyyyfyyfyFYfXXXXYY22121)(),1,0(~xXexfNXelseyeyeeyyfyfyYfyyyXXY0021)2121(21))()(((21)(22122221YX服从自由度为的分布。补充1：设电源电压XN(220,225)（单位：伏特）有三种情况：不超过200伏；200到240伏；超过240伏。在上述三种情况下，某型号电子元件损坏的概率分别为0.1，0.01，0.2，问：（1）任取一个这种元件，求元件损坏的概率（2）若已知电子元件损坏，电压最可能在哪个区间解：(1)i设A表示电压处于第i中情况（i=1，2，3）则()200PPU1A200220()(0.8)250.2119()200240PPU2A240220200220()()25252(0.8)10.5762()240PPU3A12400.2119PUB又设“元件损坏”，由全概率公式，得31()()iPPBiiP(B)AA0.10.21190.010.57620.20.21190.0693bayes由公式，易知0.10.2119()0.30580.0