数值积分与数值微分

1第4章数值积分与数值微分24.1引言4.1.1数值求积的基本思想依据微积分基本定理，对于积分,)(badxxfI只要找到被积函数的原函数，便有下列牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式：)(xf)(xF).()()(aFbFdxxfba但对于下列情形：3（1）被积函数，诸如等等，找不到用初等函数表示的原函数；2sin,sinxxx（2）当是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿-莱布尼兹公式也不能直接运用.)(xf因此有必要研究积分的数值计算问题.由积分中值定理知，在积分区间内存在一点ξ，成立],[ba),()()(fabdxxfba4就是说，底为而高为的矩形面积恰等于所求ab)(f曲边梯形的面积(图4-1).I图4-15问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出的值.)(f将称为区间上的平均高度.)(f],[ba这样，只要对平均高度提供一种算法，相应地便)(f获得一种数值求积方法.用两端点“高度“与的算术平均作为平均高度)(af)(bf)(f的近似值，这样导出的求积公式)]()([2bfafabT（1.1）是梯形公式(几何意义参看图4-2).6图4-2用区间中点的“高度”近似地取代平均高度，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)2bac)(cf)(f).2()(bafabR（1.2）7一般地，可以在区间上适当选取某些节点，],[bakx然后用加权平均得到平均高度的近似值，)(kxf)(f,)()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）式中称为求积节点；kx权仅仅与节点的选取有关，kAkx的具体形式.)(xf这样构造出的求积公式具有下列形式：kA称为求积系数，亦称伴随节点kx的权.而不依赖于被积函数8这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难.94.1.2代数精度的概念定义1如果某个求积公式对于次数不超过的多项式m均能准确地成立，但对于次多项式就不准确成立，1m则称该求积公式具有次代数精度.m梯形公式(1.1)和矩形公式(1.2)均具有一次代数精度.数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立.10nkkabA0,欲使求积公式(1.3)具有次代数精度，则只要令它m对都准确成立，就得到mxxf,,2,1)(（1.4）nkmmmkkabmxA011).(11nkkkabxA022),(2111如果事先选定求积节点，譬如，以区间的等距分点作为节点，这时取，求解方程组(1.4)即可确定求积系数，而使求积公式(1.3)至少具有次代数精度.kx],[banmkAn构造形如(1.3)的求积公式，原则上是一个确定参数和的代数问题.kxkA124.1.3插值型的求积公式设给定一组节点,210bxxxxan且已知函数在这些节点上的值，)(xf作插值函数.)(xLn取banndxxLI)(作为积分的近似值，badxxfI)(nkkknxfAI0)(（1.5）这样构造出的求积公式13称为是插值型的，式中求积系数通过插值基函数积分得出kA)(xlk.)(bakkdxxlA（1.6）由插值余项定理(第2章的定理2)即知，对于插值型的求积公式(1.5)，其余项nIIfR][式中ξ与变量有关，x).())(()(10nxxxxxxx（1.7）,)()!1()()1(bandxxnf14当是次数不超过的多项式时，插值多项式就是n)(xf函数本身，余项为零，][fR至少具有次代数精度.n反之，如果求积公式(1.5)至少具有次代数精度，则n.)()(0banjjkjkxlAdxxl事实上，这时公式(1.5)对于插值基函数应准确)(xlk它必定是插值型的.成立，即有所以这时插值型求积公式15定理1形如(1.5)的求积公式至少有次代数精度的n注意到,)(kjjkxl上式右端实际上即等于，kA因而式(1.6).)(bakkdxxlA成立.这样，有充分必要条件是，它是插值型的.164.1.4求积公式的收敛性与稳定性定义2.)()(lim00bankkkhndxxfxfA其中),(max11iinixxh在求积公式(1.3)中，由于计算可能产生误差，)(kxfk实际得到将是，kf~即.~)(kkkfxf,)()(0nkkknxfAfI在求积公式(1.3)中，若则称求积公式(1.3)是收敛的.记nkkknfAfI0.~)~(17如果对任给小正数,0只要误差充分小就有knkkkknnfxfAfIfI0]~)([)~()(（1.8）,则表明求积公式(1.3)计算是稳定的，由此给出:定义3),,1,0(~)(nkfxfkk就有(1.8)成立，则称求积公式(1.3)是稳定的.,0对任给,0若只要18定理2证明取,ab,~)(kkfxf),,1,0(0nkAk若求积公式(1.3)中系数则此求积公式是稳定的.,0对任给都有nk,,1,0若对则当时有0kAnkkkknnfxfAfIfI0)~)(()~()(nkkkkfxfA0~)(19由定义3，知求积公式(1.3)是稳定的.nkkA0)(ab.204.2牛顿-柯特斯公式4.2.1柯特斯系数设将积分区间划分为等分，],[ban选取等距节点构造出的插值型求积公式khaxknkknknxfCabI0)()()(（2.1）称为牛顿-柯特斯公式，式中称为柯特斯系数.)(nkC按(1.6)式，引进变换,thax,nabh步长则利用等距节点的插值公式，有21nnkjjnkdtjkjtabhC00)(（2.2）.)()!(!)1(00nnkjjkndtjtknnk当时，1n,21)1(1)1(0CC这时的求积公式就是梯形公式(1.1))]()([2bfafabT22当时，按(2.2)式，2n,61)2)(1(4120)2(0dtttC相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式)],()2(4)([6bfbafafabS（2.3）,64)2(2120)2(1dtttC.61)1(4120)2(2dtttC柯特斯系数为23的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，4n)],(7)(32)(12)(32)(7[9043210xfxfxfxfxfabC（2.4）这里.4,abhkhaxk按（2.2）式，可构造柯特斯系数表.其形式是242835098922835058882835092828350104962835045402835010496283509282835058882835098981728075117280357717280132317280298917280298917280132317280357717280751784041359280910534280935984041628819962514425144259625288195907451615245169074818383813613261221211)(nkCn1表425从柯特斯系数表看到时，柯特斯系数出现负值，8n)(nkC,10)(0)(nknknknkCC特别地，假定,0)~)(()(kknkfxfCnkkknknnfxfCfIfI0)(]~)([)~()(于是有,~)(kkfxf且则有nkkknkfxfC0)(]~)([nkkknkfxfC0)(~)(26它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故的牛顿-柯特斯公式是不用的.8n.0)(nknkC274.2.2偶阶求积公式的代数精度由定理1，阶的牛顿-柯特斯公式至少具有次的代数精度.nn先看辛普森公式(2.3)，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度.用进行检验，3)(xxf].)2(4[6333bbaaabS本节讨论代数精度的进一步提高问题.按辛普森公式计算得28均能准确成立，.4443abdxxIba另一方面，直接求积得这时有，IS而它对通常是不准确的，4)(xxf辛普森公式实际上具有三次代数精度.即辛普森公式对次数不超过三次的多项式因此，定理3当阶为偶数时，牛顿-柯特斯公式(2.1)至少n有次代数精度.1n29证明我们只要验证，当为偶数时，牛顿-柯特斯n公式对的余项为零.1)(nxxf由于这里,)!1()()1(nxfn.)(][0banjjdxxxfR引进变换并注意到有,thax,jhaxj按余项公式(1.7)nIIfR][,)()!1()()1(bandxxnf有30,)2(][2202nnnjndujnuhfR因为被积函数.0][fR若为偶数，则为整数，n2n,)(][002nnjndtjthfRnjjnuuH0)2()(为奇函数，所以,2nut再令进一步有2/2/)(nnjju314.2.3几种低阶求积公式的余项按余项公式(1.7)，梯形公式(1.1)的余项,))((2)(baTdxbxaxfTIR这里积分的核函数在区间上保号(非正)，))((bxax],[ba应用积分中值定理，在内存在一点使],[ba,baTdxbxaxfR))((2)(（2.5）].,[,)(12)(3baabf32为研究辛普森公式(2.3)的余项构造次数,SIRs不超过3的多项式满足),(xH),()(),()(bfbHafaH（2.6）).()(),()(cfcHcfcH其中.2bac辛普森公式具有三次代数精度，对于这样构造出的三次式应是准确的，即)(xH)],()(4)([6)(bHcHaHabdxxHba33basdxxHxfSIR)]()([对于多项式，其插值余项由第2章(5.11)得)(xH),())((!4)()()(2)4(bxcxaxfxHxf由插值条件(2.6)，上式右端实际上等于按辛普森公式(2.3)求得的积分值，S因此积分余项故有.)())((!4)(2)4(basdxbxcxaxfR34这时积分的核函数在上保号)())((2bxcxax],[babasdxbxcxaxfR)())((!4)(2)4(类似的，对于柯特斯公式(2.4)).(4945)(2)6(6fababCIRC（2.8）(非正)，再用积分中值定理有（2.7）).(2180)4(4fabab354.3复化求积公式复化求积的基本思想是把积分区间分成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，目的是提高精度.4.3.1复化梯形公式将区间划分为等分，],[ban,,,1,0nk在每个子区间上)1,,1,0(],[1nkxxkk,,nabhkhxk分点采用梯形公式(1.1)36badxxfI)(101)(nkxxkkdxxf（3.1）).()]()([2101fRxfxfhnnkkk记101)]()([2nkkknxfxfhT称为复化梯形公式.（3.2）,)]()(2)([211nkkbfxfafh37由(2.5)，其余项nnTIfR)(由于,且],[)(2baCxf10)(1nkkfn所以使),(ba.)(1)(10