随机变量及其分布练习题

1.设某种零件的合格品率为0.9,不合格品率为0.1,现对这种零件逐一有放回地进行测试,直到测得一个合格品为止,求测试次数的分布律.解.设随机变量X表示测试次数,则X的取值范围为1,2,3,…根据题意,当X的取值为k时,表示前(k-1)次取到不合格品,第k次取到合格品,而且是有放回的测试,因此,每次是否取到合格品是相互独立的.∴P(X=k)=0.1k-1×0.9k=1,2,3,…2.有3个小球和2只杯子,将小球随机地放入杯中,设X为有小球的杯子数,求X的概率分布.解.显然随机变量X可能取值为1和2,且,.所以,X的概率分布列为X12p1/43/43.一袋中有8个球:5个红的,3个白的.每解.(1)在不放回方式中,随机变量X可能取值为1,2,3,4,当X取k值时,前面(k-1)次取得白球,第k次取得红球,次从中任取一个.有下述两种方法进行抽取,X表示直到取得红球为止所进行的抽取次数.(1)不放回地抽取;(2)有放回地抽取.则P(X=1)=5/8,P(X=2)=3/8×5/7=15/56,P(X=3)=3/8×2/7×5/6=5/56,P(X=4)=3/8×2/7×1/6×1=1/56因此X的概率分布为X1234p5/815/565/561/56(2)在有放回方式中,随机变量可能取值为1,2,3,…,当X取k值时,前面(k-1)次取得白球,第k次取得红球,则P(X=k)=(3/8)k-1×(5/8).k=1,2,3,…4.设随机变量X的可能取值为-1,0,1,相应的概率依次为p1,p2,p3,已知三个概率成等差数列,且p3=2p1,求X的概率分布.解.由概率分布的性质可知p1+p2+p3=1①又已知三个概率成等差数列即p1+p3=2p2②又根据已知条件p3=2p1③解方程①②③得到p1=2/9,p2=1/3,p3=4/9.因此,X的概率分布为X-101p2/91/34/95.掷一枚不均匀硬币,直到正、反两面都出现过为止.设随机变量X表示掷硬币的次数.如果出现正面的概率为p(0＜p＜1),求X的概率分布.解.由于掷硬币试验直到正、反两面都出现为止,当X等于k时,它包括两种情形:前面(k-1)次掷出正面,第k次掷出反面或前面(k-1)次掷出反面,第k次掷出正面.X的可能取值为2,3,…,且每次掷硬币是否出现正面是相互独立的.∴P(X=k)=pk-1(1-p)+(1-p)k-1pk=2,3,…6.某人接连独立地进行三次试验.第i次试验成功的概率,i=1,2,3.求三次试验中成功的次数X的概率分布.解.随机变量X表示试验成功的次数,所以X的取值是0,1,2,3,且X=0表示三次试验都没有成功:P(X=0)=(1-1/2)(1-2/3)(1-3/4)=1/24,X=1表示三次试验有一次成功,两次没有成功:P(X=1)=1/2×(1-2/3)×(1-3/4)+(1-1/2)×2/3×(1-3/4)+(1-1/2)×(1-2/3)×3/4=1/4,X=2表示三次试验有两次成功,一次没有成功:P(X=2)=1/2×2/3×(1-3/4)+(1-1/2)×2/3×3/4+1/2×(1-2/3)×3/4=11/24,X=3表示三次试验都成功了:P(X=3)=1/2×2/3×3/4=1/4.X～.7.设随机变量ξ的概率分布为:P(ξ=k)=c/(2+k),k=0,1,2,3求c值和下列概率:(1)P(ξ=3);(2)P(ξ3);(3)P(ξ=2或ξ=3).解.利用概率分布的性质:∴c=60/77.P(ξ=3)=12/77;P(ξ3)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=65/77;P(ξ=2或ξ=3)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=27/77.8.已知随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx,求常数A、B及概率密度.解.利用分布函数的性质:,由此可知.解这个方程组得:A=0.5,B=1/π.因此密度函数f(x)为:.9.已知随机变量X的密度函数为(1)求X的分布函数;(2)求P(X＜0.5),P(X＞1.3),P(0.2＜X＜1.2).解.(1)根据分布函数和密度函数之间的关系:可知,当x＜0时,F(x)=0;当0≤x＜1时,;当1≤x＜2时,;当x≥2时,F(x)=1.因此,分布函数为.(2);;.10.已知随机变量X的概率密度为解.由密度函数的性质:可得4a+2b=1又知P(2X3)=2P(-1X2),求常数a及b的值.①又根据已知条件:P(2X3)=2P(-1X2)可得即a+2b=0②解①②得到:a=1/3,b=-1/6.11.设连续型随机变量X的概率密度为(1)试确定常数a的值.(2)如果概率P(aXb)=0.5,确定常数b的值.解.(1)利用密度函数的性质得,得到a=0.(2)∵,得到b=1.12.设产品寿命(单位:h)的分布密度函数为解.设随机变量X表示产品的寿命.(1)利用密度函数的性质:可得求:(1)A=?(2)产品寿命超过1500h的概率;(3)某设备上装有三个这样的产品,当三个产品均失效时,则设备不能正常工作;当恰有二个产品失效时,设备正常工作的概率为20%;当恰有一个产品失效时,设备正常工作的概率为80%;当三件产品均有效时,设备正常工作的概率为1.计算设备累计工作1500h后,仍能正常工作的概率.A=2000.(2).(3)用B表示事件“设备正常工作”;Ai表示事件“有i个产品有效”.i=0,1,2,3P(A0)=(1-1/3)3=8/27;P(A1)=3×(1/3)×(1-1/3)2=4/9;P(A2)=3×(1/3)2×(1-1/3)=2/9;P(A3)=(1/3)3=1/27.A0、A1、A2、A3是完备事件组,且P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.8,P(B|A3)=1.则P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0×8/27+0.2×4/9+0.8×2/9+1×1/27=0.304.