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1.设随机变量X的概率分布为X1234p1/81/41/21/8求E(X),E(X2),E(X+2)2.解.由离散型随机变量的数学期望公式可知E(X)=1×1/8+2×1/4+3×1/2+4×1/8=21/8;E(X2)=12×1/8+22×1/4+32×1/2+42×1/8=61/8;E(X+2)2=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4=61/8+4×21/8+4=177/8.2.某种产品共有10件,其中有次品3件.现从中任取3件,求取出的3件产品中次品数X的数学期望和方差.解.由题意可知,随机变量X的取值范围是0,1,2,3,且取这些值的概率为;;;.因此E(X)=0×7/24+1×21/40+2×7/40+3×1/120=9/10;E(X2)=02×7/24+12×21/40+22×7/40+32×1/120=13/10;∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=13/10-(9/10)2=49/100.3.一批零件中有9个合格品与3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.解.随机变量X表示在取得合格品之前,已经取出的废品数.所以X的所有可能取值为0,1,2,3,且取这些值的概率为P(X=0)=9/12=3/4;;;.所以由数学期望公式得到E(X)=0×3/4+1×9/44+2×9/220+3×1/220=0.3;E(X2)=02×3/4+12×9/44+22×9/220+32×1/220=9/22;∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=9/22-0.32=0.319.4.射击比赛,每人射四次(每次一发),约定全部不中得0分,只中一弹的得20分,中两弹得40分,中三弹得70分,中解.随机变量X表示此人的得分.根据题意,可得四弹得100分.某人每次射击的命中率均为3/5,求他得分的数学期望.,,,,.所以=54.05.5.设随机变量X的概率分布密度函数为,求X的数学期望和方差.解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知;又因为;∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=π2/12-1/2.6.设随机变量X的概率分布密度函数为.求X的数学期望和方差.解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知,又根据密度函数的性质得到∴A=15/16即E(X)=1.又∵;∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=8/7-1=1/7.7.设随机变量X的概率分布密度函数为,且已知方差D(X)=1,求常数a和b.解.显然常数a＞0.由密度函数的性质可知①根据数学期望公式得到;;∴由已知D(X)=E(X2)-(E(X))2=a3b/6=1②解方程①②得到.8.设随机变量X的概率分布密度函数为,求X的方差.解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=1/6-0=1/6.