随机过程期末试题答案A卷(10年12月)

1一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X~U(a,b)，则X的特征函数为itbitaeei(b-a)t。2．设随机过程X(t)=Asint,-t其中A是随机变量，具有概率分布列:则X(t)的数学期望为2sint。3．强度为λ的泊松过程X(t),t0,nT,n1是对应的时间间隔序列，则随机变量nT(n=1,2,)是独立同分布均值为____的指数分布。4．设nW,n1是与泊松过程X(t),t0对应的一个等待时间序列，则nW服从参数为n与的______分布。5．设随机过程X(t)只有两条样本曲线，1X(t,)=acost,2X(t,)=-acost,其中常数a0，且12P()=3，21P()=3，则这个随机过程的状态空间I=a,a。6．马氏链nX,n0，状态空间I,记初始概率i0pP(X=i)，绝对概率jnp(n)P(X=j)，n步转移概率(n)ijp，则jp(n)(n)iijiIpp7．设nX,n0为马氏链，状态空间I，记初始概率i0pP(X=i)，一步转移概率ijn+1nppXjXi，则0011nnPX=i,X=i,,Xi00112n-1niiiiiiipppp8．在马氏链nX,n0中，记(n)ijvn0fPXj,1vn-1,XjXi,n1,(n)ijijn=1ff，若iif1，称状态i为_常返____________。9．遍历状态的定义为不可约非周期的正常返状态。10．如果状态j非常返或零常返，则(n)ijnlimp__0_____，iI。二．证明题（每题6分，共24分）1.概率空间(,,P)F，事件序列nE,n1单调，证明：nnnnlimP(E)=P(limE)。证明：不妨设nE,n1单调增加，则nnnn=1limEE，令11F=E，nnn-1F=EE（n2）,A123P1313132有nnn=1n=1FE，且nF互不相容，则nnP(limE)=nnn=1n=1P{E}P{F}=nnknn=1k=1P(F)=limP(F)nnkknnnnk=1k=1limP(F)=limP(E)limP(E)2.设A,B,C为三个随机事件，证明：P(ACB)=P(AB)P(CAB)。证明：左边=P(ABC)P(ABC)P(AB)P(AB)P(CAB)P(B)P(AB)P(B)=右边3.设X(t),t0是强度为的泊松过程，对任意的t,s0,,且st,证明：XR(s,t)s(t+1)。证明：XR(s,t)EX(s)X(t)EX(s)[X(t)-X(s)+X(s)]s(t+1)4.设nX,n0为马氏链，状态空间为I，则对任意整数n0,1nl和i,jI，证明：(n)()(n-)ijikkjkIpppll。证明：(n)ijkIPPX(n)=jX(0)=iPX(n)=j,X(l)=kX(0)=i=kIPX(n)=j,X(l)=kX(0)=i=kIPX(l)=kX(0)=iPX(n)=jX(l)=k,X(0)=i=(l)(n-l)ikkjPP三．计算题（每题10分，共50分）1.设X(t)=Vcost,,tT=[0,+)，振幅V是在区间（0,1）上均匀分布的随机变量，为常数。（1）画出其中二条样本函数的图形；（2）求当t=4时，X(t)的概率密度函数。3解：（1）取V=11,23；（2）X()=V/2,44X()120xp20其它2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求：（1）在5分钟内顾客数的平均数；（2）在5分钟内至少有一个顾客到来的概率。解：设N(t)表示0,t内顾客到达的数目，k-10(25)PN(5)=kek!，k=0,1,2,故知（1）EN(5)10;（2）-10PN(5)1PN(5)=01e3.设质点只能停留在1、2、3、4个点上作随机游动。移动的规则是：移动前若在2或3上，则均以13的概率向右或向左移动一个单位，或者停留原处；移动前若在1点上，则以概率1移到2点；移动前若在4点上则以概率1移到3点上。设nX表示时刻n质点所处的位置。（1）写出其状态空间，说明此系统是一齐次马氏链；（2）求出一步转移概率矩阵；（3）求出二步转移概率矩阵。解：（1）I=1,2,3,4；（2）11133311133301000P=00010（3）11133351219999(2)2512199991113330PP04.设有状态空间I=0,1,2的马氏链，一步转移概率矩阵0.50.40.1P=0.30.40.30.20.30.5，试求它的极限分布。解：由一步转移概率矩阵知，此马氏链是不可约的遍历链，它的平稳分布就是极限分布，设极限分布为012X=(x,x,x)，由X=XP，得4001210122012012x=0.5x+0.3x+0.2xx=0.4x+0.4x+0.3xx=0.1x+0.3x+0.5xx+x+x1解上述线性方程组，得012212318x=,x=,x6262625.设有状态空间I=0123,4,5,6，，，的马氏链，它的一步转移概率矩阵112211221122112211221111111777777700000000000000000000P=000000000010（１）画出状态转移图；（２）对状态进行分类，并将状态空间进行分解。解：（1）（图略）；（2）123I=DCCC，其中D={6}为非常返状态集，123C=0,1,2,C=3,4,C5均为正常返闭集。四.简答题（6分）随机过程与函数、随机变量有何不同？答：（略）