随机过程第一章习题解答

第一章习题解答1．设随机变量X服从几何分布，即：(),0,1,2,kPXkpqk。求X的特征函数，EX及DX。其中01,1pqp是已知参数。解0()()jtxjtkkXkftEeepq0()kjtkkpqe=0()1jtkjtkppqeqe又200()kkkkqqEXkpqpkqppp222()()[()]qDXEXEXP（其中000(1)nnnnnnnxnxx）令0()(1)nnSxnx则10000()(1)1xxnnknxStdtntdtxx202201()()(1)11(1)1(1)xnndSxStdtdxxxnxxxx同理20000(1)2kkkkkkkkkxkxkxx令20()(1)kkSxkx则210010()(1)(1)xkkkkkkStdtktdtkxkx）2、（1）求参数为(,)pb的分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0ppbxbxexpxbppx（2）其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数的b的分布，关于参数p具有可加性。解（1）设X服从(,)pb分布，则10()()pjtxpbxXbftexedxp1()0()ppjtbxbxedxp101()()()()(1)pupppppbeubujtbxdujtpbjtbjtb10(())xppexdx（2）'1()(0)XpEXfjb2''221(1)()(0)XppEXfjb222()()()PDXEXEXb（4）若(,)iiXpb1,2i则121212()()()()(1)PPXXXXjtftftftb1212(,)YXXPPb同理可得：()()iiPXbftbjt3、设ln(),()(kZFXEZk并求是常数）。X是一随机变量，()Fx是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。（1）(),(0,)YaFXbab是常数；（2）ln(),()(kZFXEZk并求是常数）。解（1）11{()}{()}[()]PFxyPxFyFFyy（01y）00()0111yFyyyy()Fx在区间[0，1]上服从均匀分布()Fx的特征函数为11001()(1)jtxjtxjtXeftedxejtjt1()()(1)jbtjbtjtaYXftefateejat（2）ln()()()[]jtzjtFxZftEeEe=1ln01jtyedy=1011jtydyjt'2()(1)(1)Zftjjt''23()(1)(2)(1)Zftjjt()(1)()(1)!(1)kkkkZftkjjt()1()(0)(1)!kkkZkEZfkj4、设12nXXX，，相互独立，且有相同的几何分布，试求1nkkX的分布。解11()()nkknkkjtxXftEe=1()knjtxkEe=11njtkpqe=(1)njtnpqe=0()knkjtknkCpqe1{}()nknkknkPxnkCpq5、试证函数(1)()(1)jtjtjteeftne为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。证（1）000(1)1(1)lim()limlim1(1)1jtjntjtjtjtjtttteeeeftnene0000(1)1(1)lim()limlimlim1(1)1jtjntjtjtjtjttttteeeftenene(0)1f0lim()1tft()ft为连续函数1111{1()}()(1)iikkikjtjtnnnnnjtjtikikikjtikikjteeeefttene=11{1()(1)}(1)iiikkkikjtjtjtnnjtjtjtikjtikjteeeeeeene=()1111[]iknnnjttlikiklen=1111ikjltnnnikjltiklene=11111iknnnnjltjltikilkleen11()0nnikikikftt非负定（2）(1)()(1)jtjntjteeftne=2(1)(1)(1)(1)jtjtjtjtntjjteeeeene=11njtkken1{}kPxkn（0,2,kn）6、证函数21()1ftt为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。解（1）11()nnikikikftt=22111101()1nnnnikikikikikttM（1,max{}ikijnMtt）且()ft连续(0)1f()ft为特征函数（2）2211111()[]11()211fttjtjtjt=(1)(1)001[]2jtxjtxedxedx=12jtxxedx=12xjtxeedx1()2xPxe7、设12nXXX，，相互独立同服从正态分布2(,)N，试求n维随机向量12(,,)nXXX的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求X11niiXn的率密度函数。解121(,,)()innxiiPxxxPx2122()1exp{}2(2)niinnxa又iX的特征函数为：2212()exp{}iXftjatt12221,12211(,)()exp{()}nnnXXXniiiiiftttftjatt均值向量为{,,}协方差矩阵为222(,,)Bdiag又22121()(,,)()exp{]nttttnnnnnXiftffjatt8、设X．Y相互独立，且（1）分别具有参数为(,)mp及(,)np分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)pbpb的分布。求X+Y的分布。解（1）0()knjtxjtxxxnxXknkxftePeCpq=0()nitxxnxnxpeCq=0()npnjtxxnqxqeC=(1)pnjtnqqe=()jtnqpe则12,1,2()()()jtjtmnXYfttpeqpeq()()()()jtmnXYXYftftftpeq(,)XYbmnp（2）112()12()(1)()(1)(,)pXppXYjtftbjtftbXYppb9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为2214[1()],1,1(,)0,xyxyxypxy其他求其特征函数。解12()12(,){}jtxtyfttEe＝1211()331411(1)jxtyexyxydy＝11133122210[cos()sin]jtxedxtyjxyxytydy＝12121sinsintttt10、已知四维随机向量1234(,,,)XXXX服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为44,()klBE1234求（XXXX）。解14441414014(,)(,)()[](,)ttfttEXXjtt又'1142(,)exp[]ftttBt＝441211exp{}klklkltt其中11121314212223243132333441424344Bcov(,)klklXX(,1,2,3,4)kl123413242314E1234（XXXX）=11、设123XXX，和相互独立，且都服从N（0，1），试求随机变量112212YXXYXX和组成的随机向量12（Y，Y）的特征函数。解12,33,1231(,,)exp{}XXXkkkftttjtx＝3321211exp{}kkjtxkkket＝123,,1234(,,)XXXfuuuu＝222112122exp{[(())]}uuuu12、设123XXX，和相互独立，都服正态分布2N（0，），试求：（1）随机向量123（X，X，X）的特征函数。（2）设112123123,,,SXSXXSXXX，求随机向量123(,,)SSS的特征函数。（3）121232YXXYXX和组成的随机向量12（Y，Y）的特征函数。解（１）123222,,1232331232331(,,)exp{[()()]}2XXXftttttttttttt（２）12,3,123112233(,,){exp[()]}SSSftttEjtststs＝123123233{exp[(()()]}Ejtttxttxtx＝123,,123233(,,)XXXftttttt＝2221232331exp{[()()]}2tttttt（３）112212(),12(,){}jtytyYYfttEe＝1112223{exp[(()]}Ejtxttxtx＝2222111222exp[(()]}tttt13、设123（X，X，X）服从三维正态分布N（0，B），其中协方差矩阵为,ld33B=（），且2112233.试求。解222222123[()()()]EXXX＝2222222224261231213231[][]3[]EXXXEXXXXXXEX又'12()exp{}fttBt12344201222122tttfbtt同理可得22421313()2EXXb22422323()2EXXb222622221231213122313()228EXXXbbbbb222222123122313[()()()]8EXXXbbb14、设12nXXX，，相互独立同服从分布2N（0，）。试求21exp()nniiYX的期望。解2(0,)kXN(1,2,)kn令12(,,)nXxxx12(,,)ntttt则222'22111()exp{(,,)}exp{}22nXkkfttdiagtt21(){exp()}nnkkEYEt2222112kkxnxkkedx12221(1)2nkyx2122111((1))22knykkedy＝122111(1)22nk＝22(12)n15、设X．Y相互独立同分布的(0,1)N随机变量，讨论22XUXYVY和的独立性。解2212ZXYXZY有1222212212211zzxzxyzxzzyyz或122212211zzxzzyz则21222122222(1)xyyxyxJzy又2221(,)2xyXYRxye2(,)xyR11212,121222211(,)[](0,)2(1)zZZPzzezzRz11211()2zZPze1(0)z222211()21ZPzz2zR1Z服从指数分布，2Z服从柯西分布，且对21,2(),