随机过程第二章

1随机过程为一个在随机变量的基础上加上特殊的常数t的随机变量族。3.根据参数T及状态空间I的可列性分类：T,I均可列，即为：离散随机序列，（离散时间）链；T不可列，I可列：离散型随机过程，（连续时间）链；T可列，I不可列：连续随机序列，随机序列；T,I均不可列，连续随机过程，随机过程。T的可列性决定了是随机过程还是随机序列；I的可列性决定了是连续性还是离散型。4随机过程分布函数的性质：（1）对称性：1212121212,,..,12,,..,,,..,,,..,,,,..,,,..,;nniiiiiinnniiitttnttttttttttttFxxxFxxx对于的任意排列（2）相容性：当nm时1212,,,..,12,,.,...,12,,..,,,.,,...,mmntttmttttmFxxxFxxx6.随机变量的分布函数中只有随机变量；随机过程的分布函数中除了含有随机变量以外还有特殊常数t.1212121212121212121212,,...,,,...,,,,..,,,...,,,,..,,,...,,,,..,,,...,,,,..,,nnnnxxxnnnnnnnXtXtXtftttxxxFtttxxxftttxxxdxdxdxftttxxxXttTnf若是n维连续型随机变向量，存在非负可积函数使得：成立，则是随机过程的维概率密度函数。此时有：1212121212,,...,,,,..,,,...,,,,..,=...nnnnnnFtttxxxtttxxxxxx10.随机过程的数字特征:均为t的函数此处应特别与随机变量相区分1TX均值函数：设,TXXttT是随机过程，若对任意的tT,EXt存在，则称函数XmtEXt为TX的均值函数.2若对任意的tT,2EXt存在，则称TX为二阶矩过程。3TX的协方差函数：,,,XXXBstEXsmsXtmtstT;此处为同一随机过程的不同时刻，4TX方差函数：2,,XXXDtBttEXtmttT；5TX的相关函数：,,,XRstEXsXtstT;此处为同一随机过程的不同时刻。26二阶矩过程的协方差和相关函数一定存在：,,XXXXBstRstmsmt当=0,,TXXXXmtBstRst的均值函数时，；7相关系数：此处为同一随机过程的不同时刻。,,XXXXBststDsDt8互协方差函数：此处为不同随机过程设,,XttTYttT和是两个二阶矩过程，则称:,,,XYXYBstEXsmsYtmtstT为,,XttTYttT和的互协方差函数，称：,,,XYRstEXsYtstT,为,,XttTYttT和的互相关函数。若果对任意的,stT有,XYBst=0.则称,,XttTYttT和互不相关。显然有,XYBst=,-XYXYRstmsmt两个随机过程若相互独立，则必互不相关，反之不一定成立，只有当正态过程的情况下两者等价。9随机序列的数字特征：222,,=,,,,,,.xxxxxxxxxynEXnXnnTnEXnXnnTnDnDXnXnnTCmnCovXmXnEXmmXnnXnnTmnEXmXnXnnTmnEXmYnXmmTY，1.函数为，的均值函数；2.为，的均方值函数；3.,为，的方差函数；4.为，的协方差函数；5.R为，的自相关函数；6.R为，,,xyxynnTCmnEXmmYnn，的互相关函数；7.互协方差函数。11.复随机过程：设,,ttXtTYtT和是取实数值的两个随机过程，若对任意tT，tttZXiY其中21i，则称,tZtT为复随机过程。12.数字特征：（以X,Y为二阶矩过程）32,1;;,;,;,=,,1.2...,,,,ZtttZtZtZtZZstZsZtZZZiinZijijijZZZZmtEZEXiEYDtEZmtEZmtZmtRstEZZBstEZmsZmtBstBsttTinBttaaBstRstmsmt性质：对称性：；非负定性：对任意的及复数a有013.两个复随机过程ttXY的互相关函数、互协方差函数：,,;XYstXYsXtYRstEXYBstEXmsYmt14.重要的随机过程：1正交增量过程：设,XttT是零均值的二阶矩过程，若对任意的1234ttttT,有21430EXtXtXtXt，则称其为正交增量过程。2,,min,.XXXBstRstst2独立增量过程：设,XttT是随机过程，若对任意的正整数n和12....ntttT，随机变量21321,,nnXtXtXtXtXtXt相互独立，则称其为独立增量过程或可加过程。特点：他在任何不相重叠的时间间隔上过程状态的改变是相互独立的。设,XttT独立增量随机过程。若对任意的st，随机变量X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s.则称其为平稳独立增量过程。3马尔科夫过程：设,XttT为随机过程，若对任意的正整数n及12....nttt，41111111111,....,0,/,....,/nnnnnnnnnnPXtxXtxPXtxXtxXtxPXtxXtx且期条件分布，则称其为马尔科夫过程。系统在已知现在所处的状态的条件下，他将来所处的状态与过去所处的状态无关。4正态过程和布朗过程：设,XttT是随机过程，若对任意的正整数n和12....ntttT，12,,...,nXtXtXt是n维正态随机变量，则称其为正态过程或高斯过程。设,Btt是随机过程,若：221.00;2.3.,,0,,0,BstBtBsNts独立、平稳增量它是过程；增量则称其为布朗运动或维纳过程，当1时，称为标准布朗运动。设,Btt是参数为2的布朗运动，则：1.对任意的t，20,BtNt；2.,ast对任意，22min,,,min,WEBsBaBtBasataRstst特别：布朗运动是平稳独立增量过程，正态过程，马尔科夫过程、均方连续、均方可积、均方不可导的二阶矩过程。5维纳过程：1.维纳过程,0Wtt为正态过程，每一个有限维分布均为正态分布。2.它是独立正态随机变量之和，所以它是正态随机变量，由正态分布的性质知12,,...,nWtWtWt服从N维正态分布，因此Wt为正态过程。3.,0Wtt经过下列变换得到的新过程还是维纳过程：21230,/,01/,00,0,0,0cWtcWtcttWttWttWtWthWtth6平稳过程：设,XttT是随机过程，如果对任意的常数和正整数n，12,,....,ntttT，512,,....,ntttT，1212,,...,,,...,nnXtXtXtXtXtXt与有相同的联合分布，则其为严平稳过程或狭义平稳过程。其任意的有限维分布不随时间的推移而改变。分布函数与时间无关设,XttT是随机过程，如果：1.,XttT是二阶矩过程；2.对任意,XtTmtEXt常数；3.对任意的,,,,XXstTRstEXsXtRst则其为广义平稳过程或宽平稳过程。若T为离散集则其为平稳序列。广义平稳不一定是严平稳；严平稳只有其二阶矩存在时才为广义平稳。对正态而言同样适用。K阶严平稳：对于严平稳而言，是指+XtXtcc和为常数具有完全相同的统计特性。即对任意的n有12121212,,...,,,,...,,,...,,,,...,XnnXnnfxxxtttfxxxtctctc，若此式仅对n=k成立，则其即为K阶严平稳。若此式对n=k成立，则对nk肯定成立。渐进平稳：当c时，+Xtc的任意n概率密度与c无关，即1212lim,,...,,,,...,Xnnnfxxxtctctc存在，且与c无关，即为渐进平稳。循环平稳：如果随机过程Xt的分布函数满足下列关系：12121212,,...,,,,...,,,...,,,,...,XnnXnnFxxxtttFxxxtmTtmTtmTm为整数T为常数则其为严格循环平稳。严格循环平稳信号不一定是严格平稳信号。作业：2、3、4、6、7、8、14、15、16