随机过程试题解答

1西南交通大学2006-2007学年第(一)学期考试试卷课程代码课程名称随机过程B考试时间2007.1.24题号一二三四五六七总成绩得分一、（14分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为：其它010)1(24),(xyyxyxf试求:在10y时,求)|(yYXE。解：()(,)Yfyfxydx124(1)010yxydxy其它212(1)010yyy其它(5分)当10y时，(,)()Yfxyfy＝22(1)1(1)0xyxy其它(5分))|(yYXE＝(,)()()Yfxyxfxydxxdxfy2121122(1)(1)3(1)yyyxxdxyy(4分)二、（14分）设离散型随机变量X服从几何分布：,2,1)1(}{1kppkXPk试求X的特征函数，并以此求其期望)(XE与方差)(XD。解：1()()()itXitkXktEeePXk(2分)111(1)(1)(1)itkkitkkkkpeppepp1(1)[(1)](1)(1)1(1)ititkitkpppepepppe21(1)1ititititpepepeqe(4分)2()(1)itXitipetqe00221(0)(1)(1)Xipepiiqeqp(2分)3(1)()(1)ititXitpeqetqe3(1)(0)(1)Xpqq(2分)所以：11(0)XEXip(2分)22(1)(0)XqEXp22222(1)1()qqDXEXEXppp(2分)三、（14分）请写出维纳随机过程的数学定义，均值函数，自相关函数与一维特征函数。答：1、设W(t)是一个随机过程，满足：（1）((0)0)1PW(2分)（2）W(t)是增量独立的随机过程(2分)（3）0st，()()WtWs～2(0,())Nts(2分)则称W(t)为维纳过程。2、0t，()Wt～2(0,)Nt,()0EWt，(3分)2(,)()()min(,)WRstEWsWtst(3分)222(,)tvWvte(2分)3四、（14分）设随机过程}),cos()({0tYtAtX，其中0是常数，A与Y是相互独立的随机变量，Y服从区间)2,0(上的均匀分布，A服从瑞利分布，其概率密度为000)(2222xxexxfxA试证明)(tX为宽平稳过程。解：（1）)}{cos()()}cos({)(00YtEAEYtAEtmX20002220)cos(22dyytdxexx与t无关（4分）（2）)()}({cos)()}cos({)}({)(20222022AEYtEAEYtAEtXEtXdtetdxexAEtx02220223222221)(，202202022|2|222tttedtete所以)}({)(22tXEtX（5分）（3）)]}cos()][cos({[),(201021YtAYtAEttRX)}cos(){cos(][20102YtYtEAEdyttytt21)](cos)[cos(2121202010202)(cos1202tt只与时间间隔有关，所以)(tX为宽平稳过程。（5分）五、（14分）某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。（1）试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；4（2）在已知t时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设12(),(),()NtNtNt分别为（0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。（1）由已知，1()Nt为强度12的泊松过程，2()Nt为强度23的泊松过程；故，()Nt为强度125的泊松过程；于是，5(5)(())!kttPNtkek0,1,2,k（5分）（2）22(()30,()50)(()30()50)(()50)PNtNtPNtNtPNt30320221505(()30)(()20)(3)/30!(2)/20!(()50)(5)/50!tttPNtPNttetePNtte30320230302050505(3)/30!(2)/20!32()()(5)/50!55tttteteCte（5分）一般地，50,,2,1,0,)52()53(}50)(|)({50502kCtNktNPkkk故平均有女性顾客305350}50)(|)({2tNtNE人（4分）六、（15分）设一个坛子中装有4个球，它们或是红色的，或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过n次取球置换，令1),(nnX表示第n次取球后坛中的黑球数。（1）}1),({nnX是否构成马氏链,是否为齐次的，为什么?（2）试写出其状态空间与一步转移概率矩阵。解：1),(nnX的参数集为{1,2,3,,,}Tn，状态集为{0,1,2,3,4}E，当X(n)的取值确定时，X(n+1)的取值完全由X(n)确定，故1),(nnX为马氏链，（4分）()((1)())ijPnPXnjXni511,03,41,13411,1340jijiijiiijii或其它（4分）与n无关，故为齐次马氏链。（2分）（2）一步转移概率矩阵为010001/403/40001/201/20003/401/400010（5分）七、（15分）设},2,1),({nnX是独立同分布随机变量序列，其分布律为：14.06.011)(npnXi，（1）试给出},2,1),({nnX的一步转移矩阵，并画出概率转移图；（2）令nknkXnY11),()(，计算概率}0)4(,0)3(,0)2(,0)1({YYYYP。（1）},2,1),({nnX的一步转移矩阵为0.60.40.60.4（3分）转移图为：（4分）6(2)X(1)X(2)X(3)X(4)由树杈图可得：}0)4(,0)3(,0)2(,0)1({YYYYP＝4(0.4)＋3(0.4)0.6×2＋3(0.6)0.4×2＋4(0.6)＝0.4048（8分）－110.40.60.40.6